弹性力学与有限元方法作业

弹性力学与有限元方法作业院系：机械工程学院专业：机械设计及理论学号：姓名：一、下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解：（1）将式子代入平衡方程：00yyxxyxYyxXyx可得0CC0CC4411）（再将式子代入相容方程：0x2222yxy2431xCyCxCCy则可得0x2222yxy以上两个方程均满足，所以式（1）是一组应力场。（2）将式子代入应变表示的相容方程:yxxyxy22y22x2则可得：axy22x2byx22y2Cyyx4xy2022ax242a2xy22y22x2yCbCybyxyxxy所以式（2）不是一组可能的应力场。二、请描述平面结构有限元求解的基本步骤。针对平面结构问题只须考虑平行于某个平面的位移分量、应变分量与应力分量，且这些量只是两个坐标的函数，平面问题分平面应力问题和平面应变问题两类。针对二维的连续介质，对平面结构的有限元分析步骤如下：1）用虚拟的直线把原介质分割成有限个平面单元，这些直线是单元的边界，几条直线的焦点即为节点。2）假定个单元在节点上互相铰接，节点位移是基本的未知量。3）选择一个函数，用单元的三个节点的位移唯一的表示单元内部任一点的位移，此函数称为位移函数。4）通过位移函数，用节点位移唯一的表示单元内任一节点的应变；再利用广义;,,144321yCxCyCxCCxCxyyx;2,,222Cxyybxaxyxyyx的胡克定律，用节点位移可唯一的表示单元内任一点的应力。5）利用能量原理找到与单元内部应力状态等效的节点力；再利用单元应力与节点位移的关系，建立等效节点力与节点位移的关系。6）将每一单元所承受的载荷，按静力等效原则移置到节点上。7）在每一节点建立用节点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组；解出这个方程组，求出节点位移；然后可求得每个单元的应力。三、如何描述根据虚位移原理来获得单元的刚度矩阵的公式推导过程。(可以三节点三角形单元为例)答：根据虚位移原理对单元进行分析时，单元是在等效节点里的作用下处于平衡的，而这种节点力可采用列阵表示为TmmjjiiTTmTjTieVUVUVURRRR假设在单元中发生有虚位移，则相应的三个节点i、j、m的虚位移为Tmmjjiivuvuvue且假设单元内各点的虚位移为f，并具有与真实位移相同的位移模式。故有eNf单元内的虚应变为eB于是作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可以写为eTeR而单元内的应力在虚应变上所做的功为tdxdyBDBtdxdyeTTeT根据虚位移原理，可得到单元的虚功方程即tdxdyBDBReTTeeTe所以可得eTetdxdyBDBR记tdxdyBDBkTe则有eeekR上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚度方程，ek就是单元刚度矩阵。四、请利用专业方向有关有限元软件，做任选一个简单机械结构做应力分析，给出具体流程及结果。题目：齿轮的接触分析分析问题：一对啮合的齿轮在工作时产生接触，分析其接触的位置、面积和接触力的大小。1.相关系数：•齿顶直径：24mm•齿底直径：20mm•齿数：10•厚度：4mm•密度：7.8E3•弹性模量：2.06E11•摩擦系数：0.1•中心距：44mm2.建立模型2.1设定分析作业名和标题（1）从菜单中选择FileChangeJobname，打开“ChangeJobname”命令，修改文件名。自定义新的文件名为“gearscontact”，单击【OK】按钮，完成文件名的修改。（2）从实用菜单中选择FileChangeDirectory,打开“ChangeDirectory”命令，可以自定义该文件的目标文件夹，单击【确定】按钮。（3）从实用菜单中选择FileChangeTitle，打开“ChangeTitle”命令，可以自定义修改文件标题。新的文件标题为“contactanalysisoftwogears”，为本实例的标题名。单击【OK】按钮确定。(4)从实用菜单中选择PlotReplot命令，自定义的标题”contactanalysisoftwogears”将显示在窗口左下角。（5）从主菜单中选择Preference命令，在对话框中选择“Structural”复选框，单击【OK】按钮。2.2定义单元类型（1）从主菜单中选择PreprocessorElementTypeAdd/Edit/Delete,打开“ElementType”对话框，单击【Add】。（2）在下图的列表框中选择“Solid”,“4node182”,单击【OK】。(3)在下图的ElementTypes对话框中单击【Options】弹出单元选项对话框，对PLANE182单元进行设置。设置完成后点击【OK】，然后【Close】。2.3定义实常数（1）从主菜单中选择PreprocessorRealConstantsAdd/Edit/Delete，打开如下图的“实常数”对话框，点击【Add】,设置实常数单元类型。2）在弹出的对话框中点击【OK】，弹出如下对话框，点击【OK】，在弹出的对话框中将厚度设置为4。设置完毕，点击【OK】。设置完毕后，点击【Close】关闭实常数对话框。2.4定义材料属性（1）从主菜单中选择PreprocessorMaterialPropsMaterialModels，如下图所示依次双击StructuralLinearElasticIsotropic。在弹出的对话框中设置材料的弹性模量EX=2.06E11,泊松比PRXY=0.3。如下图所示。设置完毕后点击【OK】，回到材料属性对话框界面。（2）依次双击StructuralDensity，设置材料密度为7.8E3。完毕点击【OK】退出。（3）依次双击StructuralFrictionCoefficient，打开材料摩擦系数对话框。如下图，设置摩擦系数为0.1。完毕点击【OK】，并退出材料属性设置对话框。2.5建立齿轮面模型2.6对齿面划分网格（1）从主菜单中选择PreprocessorMeshingMeshTool。（2）选择“Mesh”域中的“Areas”，点击【Mesh】，如右图所示。弹出面选择对话框，要求选择要划分的面，点击【PickAll】。2.7定义接触对（1）从应用菜单中选择SelectEntities，在类型下拉列表中选“Lines”,点击【Apply】，如下左图所示。（2）打开先选择对话框，选择一个齿轮上可能与另一个齿轮相接触的线，点击【OK】，如下右图所示。（3）在实体选择对话框中选择“Nodes”,在选择方式中选择“Attachedto”,在单选列表中选择“Lines,all”。（4）从实用菜单中选择SelectComo/AssemblyCreateComponent，在“Componentname”文本框中输入”node1”,点击【OK】。（5）从实用菜单中选择SelectEverything。（6）在实体选择对话框中在类型下拉列表中选“Lines”,选择方式选“ByNum/Pick”,点击【Apply】，弹出线选择对话框，选择另一个齿轮上可能与前一个齿轮相接触的线，点击【OK】。（7）在实体选择对话框中选择“Nodes”,在选择方式中选择“Attachedto”,在单选列表中选择“Lines,all”。（8）从实用菜单中选择SelectComo/AssemblyCreateComponent，在“Componentname”文本框中输入”node2”,点击【OK】。（9）从实用菜单中选择SelectEverything。（10）点击工具栏中的【接触定义向导】按钮（最后一项），ANSYS会打开对话框，选择工具条中的第一项，会打开下一步操作向导，在对话框中选择”NODE2”，并点击【Next】，在对话框选取“NODE1”，点击【NEXT】。点击【Create】,显示建立接触对的结果：3.定义边界条件并求解3.1施加位移边界（1）将当前坐标系设置为总体柱坐标系。从实用菜单中选择WorkPlaneChangeActivesCStoGlobalCylindrical。（2）从主菜单中选择PreprocessorModelingMove/ModifyRotateNodeCSToActiveCS，打开节点选择的对话框，要求选择欲旋转的坐标系的节点。（3）选择第一个齿轮内径上所有节点：a.点击【PickAll】,节点的节点坐标系都将被旋转到当前激活的总体坐标系下。b.从实用菜单中选择SelectEntities，弹出实体选择对话框,（4）从主菜单中选择SolutionDefineLoadsApplyStructuralDisplacementonNodes，代开节点选择对话框，要求选择欲施加位移约束的节点。（5）选择第一个齿轮内径上所有节点，点击【PickAll】，打开在节点上施加位移约束对话框。如下图所示。选择”UX”方向，即施加径向位移约束，点击【OK】。4.查看结果4.1查看vonMises等效应力从主菜单中选择GeneralPostprocPlotResultsContourPlotNodalSolu,打开“ContourNodalSolutionData”对话框，选择“Stress”,复选“vonMisesstress”。点击【OK】。出现“vonMises”等效应力分布图。4.2查看接触应力从主菜单中选择GeneralPostprocPlotResultsContourPlotNodalSolu,打开“ContourNodalSolutionData”对话框，选择“ContactContactpressure”。点击【OK】。等效应力分布图：