新人教A版选修2-2《1.3.1函数的单调性与导数》知能检测及答案

1.3.1函数的单调性与导数课后知能检测新人教A版选修2-2一、选择题1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【解析】f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，令f′(x)0，即ex(x－2)0得x2，因此函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．【答案】D2．设y＝x－lnx，则此函数在区间(0,1)内为()A．单调递增B．有增有减C．单调递减D．不确定【解析】y′＝1－1x，当x∈(0,1)时，y′0，则函数y＝x－lnx在区间(0,1)内单调递减．【答案】C3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,1]C．(－∞，1]D．(0,1)【解析】f′(x)＝3x2－2ax－1.由题意知，不等式3x2－2ax－1≤0在x∈(0,1)内恒成立．∴f，f，即－1≤0，2－2a≤0，∴a≥1.当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x－1不恒为0，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．【答案】A4．已知函数f(x)，g(x)满足当x∈R时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，若ab，则有()A．f(a)·g(a)＝f(b)g(b)B．f(a)g(a)f(b)g(b)C．f(a)g(a)f(b)g(b)D．f(a)g(a)与f(b)g(b)的大小关系不定【解析】由题意知[f(x)g(x)]′0，从而f(x)g(x)在R上是增函数，又ab，∴f(a)g(a)f(b)g(b)．【答案】B5．(2013·大连高二检测)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2.则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【解析】构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)2.∴g′(x)＝f′(x)－20，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)2x＋4⇔g(x)0⇔g(x)g(－1)，∴x－1.【答案】B二、填空题6．当x1时，lnx＋1x与1的大小关系为lnx＋1x________1(填“”或“”)．【解析】设f(x)＝lnx＋1x，则f′(x)＝1x－1x2＝x－1x2，∵x1，∴f′(x)0.∴函数f(x)在[1，＋∞)内为增函数，故当x1时，f(x)f(1)＝1.从而lnx＋1x1.【答案】7．若函数y＝－43x3＋bx在定义域内不单调，则b的取值范围是________．【解析】若函数y＝－43x3＋bx在定义域内不单调，则其导数y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b0.【答案】(0，＋∞)8．(2013·广州高二检测)已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．【解析】∵f′(x)＝2a－1x＋2且函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立．∴a≤12.当a＝12时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．∴a12.【答案】a12三、解答题9．(2013·广东高考改编)设函数f(x)＝(x－1)ex－x2.求函数f(x)的单调区间．【解】∵f(x)＝(x－1)ex－x2，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．由f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝ln20.由f′(x)0，得x0或xln2.由f′(x)0，得0xln2.所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(ln2，＋∞)，单调减区间为(0，ln2)．10．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)．(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．【解】f′(x)＝3x2－a.(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，∴－1x1是f′(x)0的解，∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵y＝3x2在R上的最小值为0.∴a≤0.11．设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax(a0)．(1)求f(x)的单调区间．(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．【解】(1)∵f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x0，∴f′(x)＝a2x－2x＋a＝－x－ax＋ax，由于a0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间(a，＋∞)．(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e，由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，只要f＝a－1≥e－1，f＝a2－e2＋ae≤e2，解得a＝e.