微分几何教案第一讲

1一、E3中的曲线论.3))(),(),(()(),(:Etztytxtrbatr0))('),('),('),('()('trtztytxtr时，)(tr称为正则的。定义弧长：0222()|'()|,|'()|'()'()'().tstrtdtrtxtytzttRemark：弧长与参数的选择无关（即不依赖于参数的选择）。事实上，设)(,0)('),('00utuut。则()(()),'()(())'()'(),rrurudrurududrdtrtudtdu以u为参数的弧长:2)(|)('|)('|)('||)(')('||)('|)(0000tsttdttrduuuutrduuuutrduuuurus以t为参数的弧长。当以弧长为参数时，|,)('|)(srdsdsdstds即1|)('|sr。设曲线),,()(tshtchttr，chttrchtshttr2|)('|),1,,()(',显然该曲线不是以弧长为参数。为研究曲线的弯曲情况，首先介绍曲线的曲率。对于不同的曲线其弯曲程度可能不同，如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大。从直观来看，曲线弯曲程度较大时，其切向量方向的改变也较快，可以用曲线的切向量对弧长的旋转速度来刻划曲线的弯曲程度。3曲线)(sr以弧长s为参数，故1|)('||)('|ssrsr。|2sin|2|2sin||)('|2|)(')('|srsrssr00|sin||'()'()|2||||2|sin||'()'()|2limlim(|''()|)||||2ssrssrsssrssrsrsssksr|:)(''|曲率。例1、直线：vuvussr,,)(为常向量，.0,1||ku例2、圆：.1),0,sin,cos()(akasaasasr对于一般参数t,)),(),(),(()(tztytxtr则：.|)('||)('')('|)(3trtrtrtk挠率:当空间曲线不是平面曲线时，即有扭曲时，考虑扭曲程度，即曲线偏离平面的程度。ssrsT),(')(为弧长参数。设kskNsT),()('为曲率，)(sN为主法向量。设),()()(sNsTsB则)(sB也为单位向量。4.'0'0'0''0TBBTBTBTBTBT而.'0'1||BBBBB于是，.//'NTBB故设),()()('sNssB称)(s为曲线的挠率。例求圆柱螺线),sin,cos()(shsrsrsr的曲率和挠率，h和2122)(hr是常数。ssr,1|)('|为弧长。),0,sin,(cos)('),cos,sin()(')(2ssrsThsrsrsrsThsrsk22)()(均为常数。可得到：ssrsrsrsrs,|)(''|))('''),(''),('()(2为弧长参数。若以t为参数：.||),,()(2223322dtrddtdrdtrddtrddtdrt5例求圆柱螺线),sin,cos(baar的曲率和挠率，).,(.2222babbaak定理曲线的弧长、曲率及挠率是运动的不变量。即设曲线,)(),(),()()(),(),()(1111tztytxtrtztytxtr且321321111,bbbbbbzyxAzyx为常数向量。A为正交矩阵，且1||A运动，0||A仿射变换，1||A镜面反射。A=I（单位矩阵）为平移变换，cossin0sincos0001A时为旋转变换。6因,111dtdzdtdydtdxAdtdzdtdydtdx|)('||)('||)('|)('),(')('))(')('))(')('))('()('),(')('),('|)('|121121trtrtrtrtrtrtrtArAtrtArtArtArtArtrtrtr因222222212212212111,dtzddtyddtxdAdtzddtyddtxddtdzdtdydtdxAdtdzdtdydtdx，|||||,|||222121dtrddtrddtdrdtdr，故).(|)(||)(|)(0011tsdtdttdrdtdttdrtstttt同理11kk略（作业）。§3Frenet公式7由前面曲线：)),(),(),(()(szsysxsrs为弧长参数.切向量：).(')(srsT).()()(),()()('),()()('sNsTsBsNssBsNsksTBkTkTBBkNNTkNBTNssTsBsTsBsNsTsBsN)()(')()()(')(')()()(于是得：BNTBBNTkNBNkTT00'0'00'.00000'''BNTkkBNT对于曲线)(sr在每点s处，)(),(),(sBsNsT两两单位正交，称)}(),(),();(sBsNsTsr为曲线在s处的Frenet标架。8应用：例设)(sr为单位球面2S上的一条曲线，s为弧长参数，,k均不为零。则.)1()'1(1BkNkr证：设)(,srcBbNaTr在2S上，则,0)()(',1|)(|srsrsr即.0)(srT故aTcBTbNTaTTr0又,0)('TTsrT即.11)()(kNrsNsrk故.1kbbNr对上式两边求导：90)('0'''')'1('''TrBrTkrBkTrNrNTNrBkTNBkTNNBkTNTBTBNTBNkbNrNr,1)'1(kBr故,1)'1(kcBr故.1)'1(1)(BkNksr证毕。§4曲线在一点邻近的性质由Tayler展开：).()0('''!3)0(''!2)0(')0()(332sorsrssrrsr因10).()()(')('')0()0('sNsksTsrTTr''(0)'(0)(0)(0)'''()[''()]'[()()]''()()(0)[],rTkNkNrsrsksNsksNskkTBBkNkTkBTkkNkr')0()0()0()0()0()0()0(')0('''2代入得：),(]'[!3!2)0()(3232soBkNkTkskNssTrsr).()0(!3)0()'!3!2()0()!3()0()(333223soBksNksksTkssrsr若以)}0(),0(),0(,{0BNTp为新生坐标系，则坐标分量为：)('62)(6332323soksksysokssx).(633soksz当0s时，只取上述每项中的第一项得：11Tsx,方向，Nsky,22方向，Bskz,63方向。曲线在0s附近在个平面上的投影：22skysx，密切平面。36skzsx，从切平面（0）。3262skzsky，法平面（0）。§5曲线论基本定理曲线：).(sr直线：.0k平面曲线：.0,0k螺线：k常数.（例P4的圆柱螺线，12hrk常数）。定理设函数)(,0)(ssk均为（a，b）上连续可微函数，则存在以弧长s为参数的正则曲线),(sr使得)(sr以)(sk为曲率，)(s为挠率的曲线。证明：用到解常微分方程组的问题，即要解.NdsdBBkTdsdNkNdsdTTdsdr二、E3中的曲面§132)),(),,(),,((),(:EvuzvuyvuxRDvur即)),(),,(),,((),(vuzvuyvuxvur称为E3中的二维曲面，（u，v）为参数。13例如，椭球面1222222czbyax可以表示为)sin,sincos,coscos(),(vcuvbuvsavur，锥面0222222czbyax可以表示为),sin,cos(),(cvubvuavvur，单叶双曲面1222222czbyax可以表示为),sin,cos(),(cshuvbchuvachuvur。当),()(.00vurvrconstuu成为一条曲线，称为v-曲线。同样，当),()(.00vururconstvv为u-曲线。在0p点),(000vup，在0p处定义：14,|,|),(),(),(),(0000vuvuvvuvuuvrrurr分别为两条参数曲线)(),(vrur在0p处的切向量。若vurr,线性无关，则0vurr，称这样的曲面为正则曲面。切向量、切平面：曲面S：S上曲线c：0],,[)),(),(()(pbattvturtr处.0ttdtdvrdtdurdtdvvrdtduurdttdrvu)(，即曲线c的切向量dttdr)(可由vurr,线性表出。反之，设切向量：,,uvcrr为常数。则，设0000()()()(),ututtvtvtt则15,)(),()(),()(0000ttvtturtvturtr则()uvdrtrrcdt，即给定了一个切向量，就存在S上以此向为切向量的曲线。定理曲面S上所有过0p点的曲线的切向量构成一个二维线性空间，称这个空间为切空间，记为vuprrT,,0为0pT的一组基，0pT中的过0p点的向量称为切向量。在切空间中定义内积：babaTbap:),(.,0设,:::vvvuuurrGrrFrrEvuvuvurrrrrr,cos||||故.0vuvurrrr16法向量：若在点,0,vurrp则称其为曲面S（surface）的法向量。称||vuvurrrrn为S的单位法向量。例设曲面).0,,(),(yxyxr（平面）则).1,0,0(1001,0010,0100),0,1,0(),0,0,1(yxyxrrrr故).1,0,0(||vuvurrrrn