微积分(二)模拟题(开卷)

中国地质大学（北京）继续教育学院2015年09课程考试第1页（共4页）《微积分(二)》模拟题（补）一．计算题1.求定积分:解:2.分别绕x轴与y轴旋转产生的旋转体的体积。解:作椭圆图形，由于图形与坐标轴对称，故只考虑第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转所产生的旋转体的体积.椭圆绕x轴旋转产生的旋转体的体积3．解：4．求yxyxz2422)3(的偏导数。解：.ln51xdx45ln5lnln1ln)'(lnlnln)'(ln51515151515151515151xxxdxxxdxxxxxdxxxxxxdxxxdx＝＝例1求椭圆12222byax例1203222022220234)3(2)(22abxxaabdxxaabdxyVaaax椭圆绕y轴旋转产生的旋转体的体积badyybbadyxVbby2022220234)(22的收敛半径和收敛域。求级数1213)1(nnnnnx].31,31[,1)1(31).31,31(3131,1331,13313limlim1122221径为因此，原级数的收敛半是收敛的交错级数，时，原级数当，收敛区间为径因此，原级数的收敛半时，原级数发散。即时，原级数收敛；当即当直接利用比值判别法：nxRxxxxxxnnuunnnnnn)3ln()3(2)3)(24(22ln2)3ln()3(4)3)(24(64ln62426ln24,3222422124221222422124221122yxyxyxyxyuuyvuyvvzyuuzyzyxyxyxyxxuuxvuxvvzxuuzxzyvxvyyuxxuuuvzuvuzuzyxvyxuyxyxvvyxyxvvvvv＝＋＝＝＋＝则，可得，则设中国地质大学（北京）继续教育学院2015年09课程考试第2页（共4页）5．计算，其中区域D是所围成的区域。解：6.求定积分:解：7.求不定积分解:令,arctanxu8.判定p级数的敛散性.解：(1)当p1时，由发散，所以级数发散当p1时，Ddxdyxy22xyxy与},10|),{(2xyxxyxD10631022401)(312dxxxxdyydxdxdyxyDxxD221.dxaxdxxa221dxxaxa))((1dxxaxaa]11[21Cxaxaa|]|ln||[ln21Cxaxaa||ln21dvxdxdx22xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxxdxxxxx222112arctan2dxxxx)111(21arctan222.)arctan(21arctan22Cxxxxpppnpnn13121111,11nnp11nn11npnppppppppnpn15181716151413121111.arctanxdxx中国地质大学（北京）继续教育学院2015年09课程考试第3页（共4页）它的各项均不大于级数的对应项，而后一级数是几何级数，公比所以收敛，因此，级数收敛.9.判定级数的敛散性.解：故：当|x|1时，级数绝对收敛；当|x|1时，级数发散；当x=1,-1时，一般项不趋于0,发散。10.计算函数xyez在点)1,2(处的全微分.解:所求全微分11．求微分方程xydxdy的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)pppppppp818141414141212111211pq11npn11nnnx，由于xnxnxnxnuunnnnnnn1lim1limlim11,xyyexz,xyxeyz,2)1,2(exz,22)1,2(eyz.222dyedxedzxdxyydxxyyd)1(d)(lnln11为任意常数其中CCxy1Cexy1CeC令Cxy中国地质大学（北京）继续教育学院2015年09课程考试第4页（共4页）二.证明题1.证明不存在．证:取其值随k的不同而变化，故极限不存在．2证明调和级数是发散的。证：它的各项均大于级数的对应项，而后一个级数是发散的，所以，由比较判别法可知：调和级数发散.3.求证证:26300limyxyxyx,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk5)3(lim)2,1(),(yxyx,05)3()2()1(0)2()1(2)2()1(1213)2()33(5)3(222222yxyxyxyyxxyxyxyx5)3(lim)2,1(),(yxyx...1...3121111nnn817161514131211413121111nn21212181818181414121