山东省自学考试强化复变函数与积分变换实践习题及答案

山东大学高等教育自学考试强化实践能力培养考核《复变函数与积分变换》教学考试大纲一、课程性质及课程设置的目的和要求(一）课程的性质、地位与任务本课程是全国高等自学考试工科类各专业的一门重要的基础理论课，它包含复变函数与积分变换两部分内容。复变函数是研究复自变量复值函数的分析课程，在某些方面它是微积分学的推广，独立成为一门课程则是因为它有其自身的研究対象及独特的处理方法。解析函数是复变函数研究的中心内容，留数的计算及其应用以及保角映射是复变函数特有的问题。积分变换有时也称为运算微积，是通过积分运算把一个函数转变为另一个更为简单的且易于处理的函数。本课程介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换，可以应用它们求解某些积分方程，微分方程以及计算积分。通过本课程的学习，为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等课程奠定必要的基础。要学好本课程必须具备高等数学的基础。(二)课程的基本要求通过对本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识(对积分变换未作要求的专业考生可不学积分变换部分),切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法，并具有比较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，从而为学习后继课程奠定良好的基础。（三）本课程与有关课程的联系本课程与高等数学有密切的联系，如导数、积分、级数和微分方程等,要学好本课程，必须把高等数学中的有关知识掌握好，进行必要的复习。本课程是一门重要的基础课，它与工程力学、电工技术、电子技术和自动控制等课程的联系十分密切，因此在学习时。要切实掌握本课程的主要内容，这对以后的学习将会带来很大的帮助。二、课程内容和考核要求第一篇复变函数第一章复数(一）学习目的与要求本章的学习目的与要求是:深刻理解复数的概念;熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义；理解区域、单连域、多连域和简单曲线等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。本章的知识点中，重点是:复数的运算以及用复变数方程表示曲线，用不等式表示区域。难点是：复数的运算，复数方程表示曲线，不等式表示区域。(二）课程内容1.复数及其表示法1.1复数的概念1.2复数的表示法2.复数的运算及几何意义2.1复数的加法和减法2.2复数的乘法和除法2.3复数的方根2.4共轭复数及其运算性质3.平面点集和区域3.1点集概念3.2区域3.3简单曲线3.4单连通区域与多连通区域(三）考核知识点与考核要求1.复数的概念及其表示法，要求达到“领会”层次。(1)熟知并掌握复数的概念。(2)掌握复数的各种表示法。2.复数的运算及几何意义，要求达到“简单应用”层次。(1)熟悉与掌握复数的四则运算及开方运算。(2)掌握上述各种运算的几何意义。(3)会进行一些简单的运算。3.点集、区域和简单曲线，要求达到“领会”层次。(1)正确理解区域、简单曲线等概念。(2)掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1．熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义。2．理解区域、单连域、多连域和简单曲线等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。（五）作业题1.已知1313222zi，求||z，Argz。2.已知112iz，23zi，求12zz及12zz。3.设1z、2z是两个复数。求证：222121212|||||2Re()zzzz|z-z。4.证明：函数22(0)()0(0)xyzxyfzz在原点不连续。5.证明：z平面上的直线方程可以写成azazc（a是非零复常数，c是常数）第二章解析函数(一）学习目的与要求解析函数是复变函数的研究对象。本章总的要求是：深刻理解复变函数以及映射的概念，了解一个复变函数等价于一对实二元函数；理解函数解析的概念与柯西-黎曼条件;掌握判别函数解析性的方法；了解解析函数与调和函数的关系，并且掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数从而得到解析函数的方法;记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些重要性质。本章的知识点中，重点是：函数解析性的判别，掌握和运用柯西—黎曼条件，能从已知调和函数求其共轭调和函数。难点是：函数解析性的判断，已知调和函数求其共轭调和函数。(二）课程内容1.复变函数1.1复变函数的概念1.2复变函数的极限和连续性2.解析函数的概念2.1复变函数的导数2.2解析函数的概念3.柯西—黎曼条件4.解析函数与调和函数的关系5.初等函数5.1指数函数5.2对数函数5.3幂函数5.4三角函数5.5反三角函数(三）考核知识点与考核要求1.复变函数的概念，要求达到“领会”层次。(1)正确理解复变函数以及映射的概念。(2)理解一个复变函数与一对二元实函数的关系。2.复变函数的极限和连续性，要求达到“识记”层次。3.复变函数的导数，要求达到“领会”层次。(1)理解复变函数的导数的定义。(2)掌握可导与连续的关系及求导方法。4.解析函数的概念，要求达到“领会”层次。(1)正确理解解析函数的概念。(2)掌握解析函数的判别法。5.柯西—黎曼条件，要求达到“简单应用”层次。(1)正确理解和掌握柯西—黎曼条件。(2)熟练运用柯西—黎曼条件。6.解析函数与调和函数的关系，要求达到“简单应用”层次。(1)理解调和函数的定义。(2)了解调和函数与解析函数的关系。(3)掌握共轭调和函数的求法。7.初等函数，要求达到“识记”层次。(1)记住指数函数、三角函数、对数函数、幂函数与反三角函数的定义。(2)了解它们的主要性质。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1．深刻理解复变函数以及映射的概念，了解一个复变函数等价于一对实二元函数。2.理解函数解析的概念与柯西-黎曼条件，掌握判别函数解析性的方法。3.掌握解析函数与调和函数的关系，并且掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数从而得到解析函数的方法，记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些重要性质。（五）作业题1.试判断函数3223()3(3)fzxxyixyy的可微性和解析性。2.解方程13zei3.求cos(1)i4.设3wz确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z平面上，并且3(2)2w（这是边界上岸点对应的函数值），试求()wz的值。5.设iyxyxzf22332)(，问)(zf在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。第三章复变函数的积分(一）学习目的与要求复变函数的积分在实用和理论两个方面都是十分重要的。利用复变函数的积分可以求一些定积分的值，也可以证明解析函数的一些重要性质。本章总的要求是:正确理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质；掌握复变函数积分的一般计算方法；掌握柯西定理以及当函数𝑓(z)在闭区域上具有连续导数时的证明，并且知道推广到多连域的情形；熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分；了解莫累拉定理。本章知识点中，重点是:柯西定理；柯西积分公式及高阶导数公式的用法。难点是:复变函数积分的计算。(二）课程内容1.复变函数的积分1.1复变函数积分的概念1.2积分的存在性及其计算公式1.3积分的基本性质2.柯西定理2.1柯西定理2.2原函数与不定积分2.3柯西定理的推广3.柯西积分公式4.解析函数的高阶导数4.1解析函数的高阶导数4.2柯西不等式4.3解析函数的等价概念(三）考核知识点与考核要求1.复变函数积分的概念，要求达到“领会”层次。(1)知道复变函数积分的定义。(2)了解复变函数积分可转化为两个实二元函数的线积分。2.积分的存在性及其计算公式，要求达到“领会”层次。(1)知道复积分的存在性。(2)掌握复积分的计算公式。3.积分的基本性质，要求达到“领会”层次。4.柯西定理，要求达到“简单应用”层次。5.原函数与不定积分，要求达到“领会”层次。(1)掌握用原函数求解析函数的积分值。(2)了解变上限函数的有关概念。6.柯西定理的推广，要求达到“简单应用”层次。(1)正确理解复合闭路定理。(2)会应用路线变形原理计算某些积分。7.柯西积分公式，要求达到“简单应用”层次。(1)正确理解柯西积分公式。(2)熟练应用柯西积分公式计算某些积分。8.解析函数的高阶导数公式，要求达到“简单应用”层次。(1)正确理解高阶导数公式。(2)应用高阶导数公式计算某些积分。9.解析函数的等价概念，要求达到“识记”层次。（1)知道柯西定理的逆定理—莫累拉定理。（2）知道解析函数的一个等价概念（四）强化实践能力培养考核考试大纲1.正确理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质，掌握复变函数积分的一般计算方法。2.掌握柯西定理，并且知道推广到多连域的情形，熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分。（五）作业题1.计算256zcedzzz其中C为单位圆周|z|=12.求积分220(281)azzdz3.已知：22uxxyy，()1fii求解析函数()fzuiv4.计算积分331(1)(1)Cdzzz,其中积分路径C为(1)中心位于点1z,半径为2R的正向圆周(2)中心位于点1z,半径为2R的正向圆周第四章级数(一）学习目的与要求本章在复数范围内讨论级数，其中罗朗级数是研究解析函数在它的孤立奇点的邻域内的性质及计算留数的重要工具。本章总的要求是：了解复数项级数的敛散性及有关概念，主要性质及重要定理；理解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、收敛半径等概念，掌握幂级数的收敛半径的求法以及幂级数在收敛圆内的性质；知道把函数展开成泰勒级数的证明；记住几个主要的初等函数的泰勒展开式，能熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数或求得展开式的起首几项并确定其收敛半径；理解罗朗级数的作用,并能把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数;理解孤立奇点的概念，孤立奇点的分类以及判别其类型的方法。本章知识点中，重点是：函数展开成泰勒级数；在不同环域内展开成罗朗级数;孤立奇点类型的判别。难点是：函数展开成罗朗级数;孤立奇点类型的判别。(二）课程内容1复数项级数与复函数项级数1.1数列的极限1.2复数项级数1.3复函数项级数2.幂级数2.1幂级数的概念2.2收敛圆与收敛半径3.泰勒级数3.1解析函数的泰勒展开式3.2初等函数的泰勒展开式4.罗朗级数5.孤立奇点5.1可去奇点5.2极点5.3本性奇点(三）考核知识点与考核要求1.数列的极限，要求达到“识记”层次。(1)知道复数列的极限概念。(2)知道复数列收敛的充分必要条件。2.复数项级数，要求达到“识记”层次。(1)了解复数项级数的基本概念。(2)了解有关复数项级数敛散性的几个定理。3.复函数项级数，要求达到“识记”层次。(1)了解复函数项级数的有关概念。(2)了解复函数项级数的绝对收敛的概念。4.幂级数的概念，要求达到“领会”层次。(1)了解幂级数的概念。(2)深刻理解阿贝尔定理。5.收敛圆与收敛半径，要求达到“简单应用”层次。(1)理解收敛圆与收敛半径的概念。(2)会用比值法和根值法求幂级数的收敛半径。(3)了解幂级数在其收敛圆内的两个性质。6.解析函数的泰勒展开式，要求达到“领会”层次。(1)知道解析函数展开成泰勒级数的证明。(2)知道利用奇点求收敛半径的方法。(3)理解4个等价的解析函数的定义。7.初等函数的泰勒展开式，要求达到“简单应用”层次。(1)掌握常用初等函数的泰勒展开式。(2)会应用已知函数的泰勒展开式求另一些函数的泰勒展开式，并能确定其收敛半径。8.罗朗级数，要求达到“简单应用”层次。(1)理解罗朗级数的作用。(2)能熟练地把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数。9.孤立奇点，要求达到“领会”层次。(1)理解可去奇点、极点及本性奇点的概念。(2)理解孤立奇点的分类及判别其类型的方法。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1.掌握复数项级数的敛散性及有关概念，主要性质及重要定理。2.理解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、收敛半径等概念，掌握幂级数的收敛半径的求法以及幂级