第九章膨胀波和激波

工程流体力学基础第九章膨胀波和激波膨胀波激波正激波前后的参数关系斜激波激波的反射与相交拉瓦尔喷管内的正激波•超声速流与亚声速流有很大不同。超声速流中通常会出现膨胀波和激波，这是超声速流的基本特征；•膨胀波——使流体发生膨胀，即通过膨胀波后，流体的压强、温度和密度均降低，流速增大；•激波——使气体流动状态突然改变，只出现在超声速流动中，或者说激波相对于其上游流体的速度永远是超声速的。穿过激波后产生很大的压强突升，密度和温度等参数也发生突变。•流动状态的突变：速度的大小和/或方向发生突变。9.1.1微弱扰动•第六章推导的声速是微弱压强扰动以波的形式传播的速度→微弱扰动波→使流动参数发生微小变化；•在超声速流动中，微弱扰动被限制在马赫锥之内→微弱扰动传播范围有限，不能传遍整个流场，特别是不能向上游传播→超声速流与亚声速流的重要区别；•马赫锥锥面称为马赫波，二维时是马赫线，流速在马赫波垂直方向上的分速度是声速c；•马赫锥半角称为马赫角Ma1sin19.1膨胀波9.1.2微弱扰动的产生•推导微弱扰动传播速度c时，并未指明扰动性质，所以声速表达式对微弱压缩波和微弱膨胀波都适用；•飞行器以超声速飞行时，飞行器对空气产生扰动→如果扰动是微弱的，则产生微弱压缩波或微弱膨胀波；•在光滑无摩擦表面上，当超声速流遇到微小尖凸角时，由于物理边界要求，流向必须顺应边界变化发生偏转，这种扰动就会产生膨胀波；•类似地，当超声速流遇到微小尖凹角时，产生微弱压缩波；•这种波称为普朗特—迈耶波，它是马赫线或叫马赫波。9.1.3微小凸角和凸面上的膨胀波•如果超声速流在光滑无摩擦表面上遇到多个微小的尖凸角，则每一个微小尖凸角都会产生膨胀波；•对于光滑凸面，可以将其看成连续的多个微小尖凸角，于是每一个微小尖凸角产生一道膨胀波；9.1.4有限大小凸角上的膨胀波•如果超声速流在光滑无摩擦表面上遇到一个有限大小的尖凸角，则同样可以将其看成连续的无限多个微小尖凸角，每一个微小尖凸角产生一道膨胀波；•由于所有膨胀波都是从同一个尖凸角发出的，所以无限多道膨胀波形成一个扇形区，称为膨胀波扇。9.1.5膨胀波流动特点•气流每经过一道膨胀波，发生一次微小膨胀p↓dp，T↓dT，ρ↓dρ，v↑dv，Ma↑dMa•气流经过膨胀波扇时，流动参数发生连续变化，压强、温度和密度连续下降，速度和马赫数连续增加。在无黏性和没有热交换时，这种膨胀是等熵的，沿每一道马赫波气流参数不变，均匀来流条件下马赫波都是直线；•由于膨胀波后Ma增大，马赫角变小，所以膨胀波相互之间是发散的，不会相交到一起；9.1.6普朗特—迈耶流动的控制方程dδdδdδDOV+dVVN+dVNVTVTVNV无摩擦表面二维定常超声速流绕无限小凸角的膨胀流动假设二维定常均匀超声速流偏转了无限小角度dδ→从O点发出一道马赫线(即膨胀波)；拐角δ称为流动偏转角。约定：顺时针偏转为负，逆时针偏转为正。偏转前流动参数：p、V、Ma等；偏转后流动参数：p+dp、V+dV、Ma+dMa等。按马赫线方向及其法向分解流速TTNNTNVdVVdVVdVVVV1sinMa沿马赫线切向应用动量方程，可得：0TdVddVVVcoscoscoscoscossinsincos1,sindddddddVdVtan联立21tan1Ma21dVdMaV这就是普朗特－迈耶流动的控制微分方程。对有限大小流动偏转角δ，通过积分可得膨胀波后流速，但积分前须知道V与Ma的关系。ddVVdVVVVTTTcoscos根据图示关系，有展开并忽略高阶项Ma19.1.7理想气体膨胀波马赫数定义＋声速公式2222VMaaMaRT222112tRTMaVMa对数微分21112dVdMaVMaMa代入普朗特－迈耶流控制方程221112MadMadMaMa积分121211tan1tan1Const11MaMa理想气体流速V与马赫数Ma的关系用总温代替静温等熵流Tt=Const假设初始马赫数为1时，偏转角为0，则积分常数也为0。于是，有121211tan1tan111MaMa－称为普朗特－迈耶角。物理意义：初始为声速的流动膨胀到马赫数Ma时所必须偏转的角度，如右图所示。任何流动都可以假想是由声速流经过偏转而来的，所以普朗特－迈耶角与马赫角一样是超声速流的特征参数。无摩擦表面Ma1pp*δ*=0p=p*ABOMa*=1马赫线(均匀流)膨胀扇形区马赫线δ=1=90°90°CD初始声速流Ma0=1膨胀到马赫数Ma9.1.8普朗特—迈耶流动的计算利用普朗特－迈耶角可以方便地进行膨胀流动的计算。设初始流动马赫数为Ma1，与其对应的普朗特－迈耶角为；膨胀后流动马赫数为Ma2，与其对应的普朗特－迈耶角为；则流动偏转角δ为：121212111121222211tan1tan11111tan1tan111MaMaMaMa21121212122121111tan1tan1tan1tan1111MaMaMaMa以上求解过程相当于下图所示的膨胀流动。初始超声速流的膨胀A区B区C区v1v2δ=v2-v1Ma11Ma11对逆时针偏转，只需改变流动偏转角符号。综合两种情况121211tan1tan111MaMa“＋”逆时针偏转“－”顺时针偏转9.1.9普朗特—迈耶角的最大值马赫数↑→普朗特－迈耶角↑当Ma→∞，即从初始声速流绕尖凸角膨胀到马赫数无穷大时，普朗特－迈耶角达到其最大值max1lim121Ma空气γ=1.4→±νmax=130.45°。以上结论是从理想气体得出的；真实流体流动偏转角最大值要比理论给出的值小，原因：真实流体有粘性→膨胀到一定程度时流动从表面分离；与νmax对应的压强为零→连续介质假设不成立。9.2激波9.2.1激波的性质•激波是超声速气流中出现的流动参数的强间断面。超声速气流穿过激波时，速度突跃下降，压强、密度、温度突跃上升。•所有激波都是压缩波，对流体产生压缩作用；•由于激波是瞬态压缩，因而不可能是可逆过程。压缩流体所需能量来自激波上游流体的动能，波后流体动能要比同样压比的等熵压缩时小，额外损失的动能转化为热能，使温度超过等熵压缩时的值。所以，波后熵增大，作功能力降低；•激波非常薄，只有几个分子自由程的厚度，内部变化非常复杂。在数学上，假设激波是无限薄的几何面，称为间断面，即流动参数在激波处发生间断。本课程只研究激波前后参数变化，不涉及激波内部的变化过程。9.2.2激波的产生•当超声速气体流过凹面时，可把凹面看成无限多个微小尖凹角，每个凹角都产生一道微弱压缩波，这种波是马赫波。气流经过每一道微弱压缩波，流动参数发生一个微小变化p↑dp，T↑dT，ρ↑dρ，v↓dv，Ma↓dMa由于Ma↓→马赫角α↑，所以随着压缩波的延伸，它们逐渐汇聚，这与膨胀波的发散截然不同；当所有压缩波汇聚到一起时，便叠加成激波。•以超声速飞行的飞行器对空气产生强烈压缩，形成激波。附体斜激波Ma11流线ε（a）附体斜激波Ma11Ma=1Ma1脱体斜激波（b）脱体斜激波Ma1近似正激波近似斜激波若飞行器头部是二维楔形，则产生附体或脱体的斜激波；若飞行器头部是旋成体，则产生附体或脱体的锥形激波。激波的产生激波的产生•爆炸产生的球形激波，又称为冲击波或爆轰波。激波的产生汽车爆炸激波的产生在等截面直管中，由活塞的加速可以产生激波：活塞一次次连续微小加速所产生的微弱压缩波，叠加后产生激波；活塞突然加速到有限速度，则立刻产生激波。9.2.3激波的分类•相对于来流方向正激波——波前垂直于流动方向；斜激波——波前与流动方向的夹角小于90°；•相对于物体位置附体激波——激波附着在超声速运动的物体上；脱体激波——离开物体一段距离，不能附着在物体上。又称为弓形激波；•相对于观察者静止激波；运动激波。9.2.4激波的传播速度•激波相对于波前流动永远是超声速的；以等截面直管中活塞加速产生的激波为例，推导激波传播速度；基本假设：①初始时管中充满静止气体；②一维流动，激波垂直于流线，即正激波；③流动绝热、无外功，忽略摩擦和质量力；采用相对坐标系，使激波静止下来，流动变成定常流动；v2Rvsp2p1v1R=0(a)运动正激波2T21T1v2v1(c)静止的正激波p22T2p11T1pv(b)压强和速度分布xx(d)压强和速度分布xxpvsv非定常流动定常流动流动模型v2=vs-v2Rv1=vs激波使流动参数间断，即参数不连续，因此不能用微分方法推导控制方程组；取图示控制体，应用连续方程和动量方程控制体xn2v221A221p22n1v1A1=A2p11连续方程动量方程RssvvAvA221sRssvvvvAppA2121v2v1解得：激波传播速度波后流动速度21121111pppvs211211211pppvRp2/p1表示激波强度，数值越大激波越强，激波传播速度越大；激波无限微弱时：p2/p1→1，ρ2/ρ1→1说明激波退化成了微弱压缩波，亦即声波，其波后流速v2R=0。cpvsdd讨论•飞行器的速度在接近声速时，阻力会突然增大，这种现象被称为“音障”，你认为造成阻力突增的原因是什么？•答：激波产生的波阻讨论•亚声速飞机的头部是圆的，而超声速飞机的头部多是尖的，试分析其原因？•答：降低激波阻力。讨论•飞机在湿度大的空气中接近声速飞行时，会出现“凝结云”，试分析其原因。•答：跨音速飞行常常伴随的一个效应称为普朗特-格劳厄脱凝结云（Prandtl-Glauertcondensationclouds），表现为以飞机为中心轴、从机翼前段开始向四周均匀扩散的圆锥状云团。这是由于气流经机翼的膨胀后导致了温度降低，引起水蒸气凝结导致的。这个低温带会随着离机身的距离增加而迅速消失。此外，普朗特-格劳厄脱凝结云并非只能在跨音速飞行中看到，与激波也没有必然的联系。在合适的条件下，尚未接近音速的飞机也能在自己周围产生普朗特-格劳厄脱凝结云。详细内容可参考网址：。9.3.1基本假设与控制方程组在第二节推导激波传播速度时采用的假设基础上，再增加一个理想气体假设；补充绝热流能量方程和理想气体状态方程，化简可得正激波流动控制方程组：连续方程动量方程2211vv22221112vvpp能量方程222211211212pvpv热状态方程222111TpTp9.3正激波前后的参数关系9.3.2理想气体正激波前后的参数关系已知波前参数，求解正激波控制方程组，可得波后参数。波后马赫数Ma2有两个解第一个解21MaMa第二个解11212212122MaMaMa波后参数不变化→无意义或代表微弱压缩波激波解→波后马赫数发生有限改变波后马赫数Ma2是波前马赫数Ma1和比热比的函数；对给定气体，比热比确定，Ma2仅随波前马赫数Ma1变化；Ma2随着波前Ma1增大而减小，其极限为波后Ma2的极限是大于零的有限值。空气＝1.412345678910