把数学能力的培养落到实处

1把数学能力的培养落到实处李国强数学高考试题不是考查单纯的记忆，而是以能力立意的综合检测试题，是把重点放在系统地掌握课程内容的内在联系上，放在分析问题与解决问题的能力上综合测试，是测试考生继续学习的潜能；数学高考试题强调考能力，往往和考查对数学思想方法的理解和运用相结合，考能力寄寓于数学思想方法之中．高三数学总复习的过程，是对数学基础知识和基本方法进一步深化的过程，学生数学能力的培养尤为重要，只有把数学能力的培养落到实处，才能提高备考质量．数学能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识，其中思维能力要求会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。下面我就高三数学复习中学生数学思维能力的培养谈以下三点体会．１、统而规律性的知识是发展思维能力的基础数学本身就是由一系列概念和原理组成的系统性很强的知识，学生在学习数学时，只有将某一概念、原理纳入一定的知识体系之中，对这一概念、原理的理解才会深刻，应用起来才能灵活，才有利于用完整的知识去理解新的知识。要使知识系统化，最首要的是形成概念的体系。复习中，我们应引导学生比较某一概念与其他相关概念之间的区别与联系，使学生具有这一概念的地位及其与其他概念关系的丰富知识，从而掌握概念的完整体系，系统的掌握知识，为形成思维的针对性、广阔性建立起扎实的知识基础.如在复习二次函数时，可从“问题研究”中应用数学思想和方法，然后加以系统而规律性的知识总结：例１：已知二次函数12bxaxxf（aRba,,＞0），设xxf的两个根为1x和2x．如果1x＜2，212xx，求b的取值范围．方法一：（不等式法）由0＜1x＜2和2＜1x＜0，分别建立关于b的不等式；解得b的取值范围是,4741,．方法二：（函数法），当2,01x时，构造函数1112111xxb，2ttb121［其中11xt3,1］在3,1上是递增函数，其值域为41,，∴b＜41．当0,21x时，1112111xxb，ttb121［其中1,311xt］3,1上是递增函数，其值域为,47．∴b的取值范围是,4741,总结：（１）二次函数是初等数学中应用最广泛的函数之一，其解析式有三种形式，即一般式：cbxaxy2；顶点式：hmxay2；截距式：21xxxxay．解题时应把握条件，灵活应用．（２）二次函数求最值，首先把二次函数化为顶点式hmxay2，利用二次函数图象来研究函数在区间上的最值，关键是确定二次函数的对称轴与区间的相对位置．（３）解二次方程根的分布问题，一是利用韦达定理；二是转化成二次函数与x轴的交点问题，一般应考虑四个方面，即开口方向、判别式的符号、特殊点的函数值符号、对称轴的范围.（４）复习时注意数形结合和“三个二次”的等价转换，函数图象的应用，及函数、方程、不等式之间的内在联系．最后有针对性的适当的布置练习，在练习时要注意控制难题，把练习的重点放在重要和关键的知识点．２、变换思考问题的角度，培养学生思维的灵活性在数学复习的过程中，有意识的教会学生怎样思维，指导学生在解决问题时先要明确问题的性质及所属知识体系，抓住关键所在，运用多种方法，开拓学生的思路，鼓励学生多思考，让学生对同一问题从不同的角度、方面去思考和分析，对同一问题寻找多种途径和方法解决，然后进行有根据的、严密的、合乎逻辑的推理、判断回答问题，使学生的思维广阔、灵活。例２：某商品售价为a元，采用分期付款的方式，分n期等额还清贷款（这里的一期可以代表一个月、两个月，或一年、两年等），每期的利率为r，按复利计算。如果从第一期末开始付款，求每期还款额x．方法一：（考虑终值）设n期后所欠贷款为na，则易得3xraann1［2111nnrr…11r］＝rrxrann111，由0na，则111nnrrrax．方法二：（考虑终值）把所有的款项都折算成最终的价值，所以21111nnnrxrxra…xrx1，解得111nnrrrax．方法三：（考虑初值）把所有的款项都折算成初始的价值，则贷款a的初值仍为a，所以211rxrxa…nrx1，解得111nnrrrax．方法四：(考虑递推公式)分期付款问题的实质是一阶一次递推数列的问题，即xraa11，xraann11，Nn．用待定系数法确定常数，使｛na｝构成等比数列，则可求出na的表达式，再求x．如果已知的利率不是每期的利率，也可以折算，例如：当月利率是008.0（复利），若以每两个月为一期付款时，每期的利率1008.012r。３、强化目标意识，培养学生的定向思维能力数学的本质是“问题和解”，在分析问题和解决问题的过程中，不仅要求学生有较强的“目标追踪、结构分析”的能力，而且还要求学生在目标的强烈驱使下，对知识见微知著所表现出的思维的敏锐度。解题的过程可以说就是为了消除目标与已知的差异，目标是方向，会看结构差异是根本，找到切入点是关键．根据题目提供的信息，提取相关的知识点，进行有机组合，只有发现目标与已知的结构差异，才能找到努力方向，最终才能把问题合理转化，找到解题的思路和方法．例3：（2003年北京）设xfy是定义在区间［1，1］上的函数，且满足条件：①011ff；②对任意的u，v［1，1］，都有vfuf≤vu．（1）证明：对任意的x［1，1］，都有1x≤xf≤x1；4目标：1x≤xf≤x1xf≤x1；题设条件：vfuf≤vu，01f．由题设条件与目标之间的差异不难发现问题的突破口在于令xu，1v．（2）证明：对任意的u、v［1，1］，都有vfuf≤1．目标：vfuf≤vfuf＝11fvffuf≤)1()1(vu＝)(2vu．题设条件：u、v［1，1］要)(2vu≤1，不妨设u≥v，由题设条件与目标之间的差异不难发现问题的突破口在于讨论①vu≤1，②vu＞1可实现目标．数学能力的提高只有在学习和解决数学问题的过程中才能实现，注重过程是提高能力的关键．过程主要指知识的形成过程、数学理论的形成过程和解决数学问题时的思维过程.在复习中教师沿着学生的思维轨迹因势利导，克服盲目性，提高自觉性，结合具体问题不失时机地突出数学思想方法并逐步内化为能力的组成部分强化通性通法，淡化特殊技巧，增强交互性，充分调动学生的思维活动，讲解例题后要注重和展示解题方法的探原、调整、形成的思维过程，让学生多反思、领悟，如是否很好地理解题意，所用的解题方法是否合理简捷，有没有更好的解法，解题过程是否正确无误，表述是否符合逻辑，是否全面，解题所用的方法是否有广泛的应用价值，如果适当改变题目的条件或结论，问题将会再现什么变化，与过去做过的题目之间有没有联系等．布置练习要少而精，形式要多样，即要有巩固性的训练，也要有须经过积极思考才能做出的训练；考试测验既要考虑知识的掌握，也要考虑思维的能力.参考文献：①陆志平《激活创造的潜能》南京师范大学出版社②岑申王而冶《21世纪高中数学精编》③吴锷《2001年高考阅卷随感》２００４年４月８日