抛物线的切线问题教案

1抛物线的切线问题天台平桥中学杨启一、教学目标、重点、难点1．知识目标：掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用.2．能力目标：培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归与转化的数学思想.3．情感目标：通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神.4．教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题.二、教学过程（一）引入在近5年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如2005江西，2006全国卷II，2007江苏，2008山东，2009浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究这些题目，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力.（二）典型例题例1(2007江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线2yx相交于,AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于,PQ两点.（1）若2OAOB，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.分析：(1)设出AB的直线方程，及A，B两点坐标联立抛物线方程，利用韦达定理即可.（2）AQ的斜率用A点导数表示，也可用两点斜率公式表示，两者相等就得证.（3）先写出逆命题，再利用斜率相等.解：（1）设直线AB的方程为ckxy，将该方程代入2yx得02ckxx.令A),(211xx,B),(222xx，则cxx21.22222121ccxxxxOBOA,.2.(1,2ccc故舍去）或(2)由题意知),2(21cxxQ，yxPCABOQ2直线AQ的斜率为121212121121222xxxxxxxxxcxkAQ又2yx的导函数为xy2，所以点A处切线的斜率为12x.因些，QA为此抛物线的切线.（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设),(0cxQ，若AQ为该抛物线的切线，则12xkAQ.又直线AQ的斜率为0121210121xxxxxxxcxkAQ，10121212xxxxxx2121012xxxxx)0(21210xxxx所以点P的横坐标为221xx，即逆命题成立.评析：本题只要抓住斜率相等关键条件，结合韦达定理，准确地运算，即可得到解答.例2（2010浙江金华十校）已知抛物线C1：2xy，椭圆2C：1422yx.（1）设21,ll是C1的任意两条互相垂直的切线，并设Mll21，证明：点M的纵坐标为定值；（2）在C1上是否存在点P，使得C1在点P处切线与2C相交于两点BA、，且AB的中垂线恰为C1的切线？若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由.分析：（1）设出切点坐标),(211xx,),(222xx，利用导数可写出两个切线方程)(21121xxxxy，)(22222xxxxy，又21ll可得到斜率之积12221xx通过运算得到结论.（2）设出坐标写出切线方程联立椭圆方程，利用韦达定理及（1）找出相关的关系式进而解出点P从标.解：(1)设切点分别为),(211xx,),(222xx，由xy2可得)(211211xxxxyl的方程即2112xxxy①的方程2l2222xxxy②联立①②并解之，得xPAMBy321212xxyxxx即为点M的坐标),2(2121xxxx21ll12221xx，所以4121xxyM即点M的纵坐标为定值41.（2）设),(200xxP，则C1在点P处的切线方程为2002xxxy，代入2C方程04422yx，得044)44(4030220xxxxx，设),(),,(4433yxByxA，则204043202043444,1xxxxxxxx，0)44(164020xx由（1）知41My，从而41243yy，即41)(20430xxxx，进而得411202040xxx，解得3120x经检验3120x满足0，所以这样的点P存在，其坐标为)31,33(评析：本题通过导数得到切线斜率，使求切线方程过程得到简化，为求点M的坐标奠定基础，点M又使两小量连接起来.关于存在性问题，务必要检验结论成立的条件.本题变量多，运算量大，只有在清晰的思路的引导下，规范书写，才能避免出错.（三）练习（2006全国II，21）已知抛物线24xy的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且(0).AFFB过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I）证明ABFM为定值；（II）设ABM的面积为S，写出()Sf的表达式，并求S的最小值。解：(I)由题意，设直线AB的方程为1kxy代入24xy得0442kxx设),(),,(2211yxByxA则4,42121xxkxx又2xy所以切线方程分别为42211xxxy，42222xxxy从而)1,2(21xxM所以2221xxkFM，故14222121xxxxkkFM即ABFM所以0ABFM为定值.4(II)由FBAF得21xx，又有421xx所以14,42221xx，由（I）可知点M在抛物线的准线上，所以21221yyAB212)2(||221xxFM所以23)21(||||21FMABSABM由基本不等式可求得面积最小值为4.四）课堂小结1．通过本节课学习，我们发现这些题中都有一个相似的地方：过抛物线外一点作抛物线的两条切线，同时这两条切线所带来一些性质比如切点坐标，定值等，在这里还有其他性质我们在课外可以继续研究。2．“坐标法”始终是解决直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，而“韦达定理”始终起到“桥梁”作用。（五）作业1．（2008山东，理22）如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，410AB，求此时抛物线的方程.2．（2005江西，理22）如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.三、板书设计屏幕第一版例1第二版例2