您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 项目/工程管理 > 帮你寻求反证法中的矛盾
帮你寻求反证法中的矛盾数学问题是数学矛盾的来源,而矛盾又是我们数学问题所依托的根本,也是数学问题得已解决的关键所在。打蛇打七寸,问题找矛盾,这也是数学的特点之一。反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.其实质是运用“正难则反”的策略,从否定结论出发,通过逻辑推理,导出矛盾.反证法证题的步骤大致分为三步:(1)反设:作出与求证的结论相反的假设;(2)归谬:由反设出发,导出矛盾结果;(3)作出结论:证明了反设不能成立,从而证明了所求证的结论成立.其中,导出矛盾是关键,通常有以下几种途径:与已知矛盾,与公理、定理矛盾,与假设矛盾,自相矛盾等.下面和你一起寻求反证法中的矛盾。例题设函数()fx的定义域是[01],,(0)(1)ff,且对任意的12[01]xx,,,12xx,均有2121()()2fxfxxx,求证:对任意的12[01]xx,,,12xx,均有21()()1fxfx.分析:本题的结论的反面只有一种情况,故推翻此种情况就达到证明目的。比较条件与结论,发现存在等式与不等式之间的矛盾,为此用“待定系数法”和绝对值不等式的性质作为桥梁,从而构造矛盾,得出证明。证明:假设12[01]xx,,,12xx,使得21()()1fxfx≥.不妨设12xx,则21211()()[()(0)][(0)()]fxfxfxfffx≤21()(0)(0)()fxfffx≤212112202122222()xxxxxx.所以12102xx,故由条件可得21211()()2212fxfxxx.这与假设矛盾,故原命题成立.点评:把反设做条件导出矛盾是反证法证明最常用的方法。本题通过推理论证导出与假设矛盾。练一练:设na、nb是公比不相等的两个等比数列,nnncab,证明数列nc不是等比数列.证明:设na、nb的公比分别为pq,,pq,nnncab.假设nc是等比数列,则有2213ccc.由于2222222111111()2capbqapbqabpq,而222222221311111111()()()ccabapbqapbqabpq.从而有2211112()abpqabpq,而110ab,故有222pqpq,即pq,这与已知pq相矛盾,因此假设不成立,故nc不是等比数列.最后,指出寻求矛盾过程中几个需要注意的问题:注意一:“否定结论”是反证法的第一步,它的正确与否直接影响能否正确使用反证法.否定结论的步骤是:(1)弄清结论本身的情况;(2)找出结论的全部相反情况;(3)正确地否定上述结论.注意二:反证法中引出矛盾的结论,不是推理本身的错误,而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.注意三:在反证法证题的过程中,经常画出某些不正确的图形,甚至是不可能存在的图形,这样做的目的是为了能清楚地说明问题.在证明过程中,每一步推理所得结论的正确性,完全由它所依据的理由来保证,而不能借助图形的直观,这与用直接证法通过图形的直观,有利于找到证题的途径是不完全一样的.注意四:用反证法证明命题时,若原命题问题的反面不惟一,这时要把每种可能情况一一否定,不要遗漏.
本文标题:帮你寻求反证法中的矛盾
链接地址:https://www.777doc.com/doc-2450642 .html