帮你寻求反证法中的矛盾

帮你寻求反证法中的矛盾数学问题是数学矛盾的来源，而矛盾又是我们数学问题所依托的根本，也是数学问题得已解决的关键所在。打蛇打七寸，问题找矛盾，这也是数学的特点之一。反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.下面和你一起寻求反证法中的矛盾。例题设函数()fx的定义域是[01]，，(0)(1)ff，且对任意的12[01]xx，，，12xx，均有2121()()2fxfxxx，求证：对任意的12[01]xx，，，12xx，均有21()()1fxfx．分析：本题的结论的反面只有一种情况，故推翻此种情况就达到证明目的。比较条件与结论，发现存在等式与不等式之间的矛盾，为此用“待定系数法”和绝对值不等式的性质作为桥梁，从而构造矛盾，得出证明。证明：假设12[01]xx，，，12xx，使得21()()1fxfx≥．不妨设12xx，则21211()()[()(0)][(0)()]fxfxfxfffx≤21()(0)(0)()fxfffx≤212112202122222()xxxxxx．所以12102xx，故由条件可得21211()()2212fxfxxx．这与假设矛盾，故原命题成立．点评：把反设做条件导出矛盾是反证法证明最常用的方法。本题通过推理论证导出与假设矛盾。练一练：设na、nb是公比不相等的两个等比数列，nnncab，证明数列nc不是等比数列．证明：设na、nb的公比分别为pq，，pq，nnncab．假设nc是等比数列，则有2213ccc．由于2222222111111()2capbqapbqabpq，而222222221311111111()()()ccabapbqapbqabpq．从而有2211112()abpqabpq，而110ab，故有222pqpq，即pq，这与已知pq相矛盾，因此假设不成立，故nc不是等比数列．最后，指出寻求矛盾过程中几个需要注意的问题：注意一：“否定结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．否定结论的步骤是：（1）弄清结论本身的情况；（2）找出结论的全部相反情况；（3）正确地否定上述结论．注意二：反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的．注意三：在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接证法通过图形的直观，有利于找到证题的途径是不完全一样的．注意四：用反证法证明命题时，若原命题问题的反面不惟一，这时要把每种可能情况一一否定，不要遗漏．