常微分方程第一章

第一章一阶微分方程1.1学习目标：1.理解微分方程有关的基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法.掌握处理微分方程的三种主要方法:解析方法,定性方法和数值方法.2.掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程,掌握一阶线性方程的猜测检验法,常数变易法和积分因子法,灵活运用这些方法求解相应方程,理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.3.能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场,通过给定的斜率场描述方程解的定性性质;理解和掌握欧拉方法,能够利用欧拉方法做简单的近似计算.4.理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理,能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题,了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理,理解适定性的概念.5.理解自治方程平衡点,平衡解,相线的概念,能够画出给定自治方程的相线,判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.6.理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念,掌握发生分歧的条件,理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解,能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解,利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.7.掌握在给定的假设条件下,建立与实际问题相应的常微分方程模型,并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.1.2基本知识：(一)基本概念1.什么是微分方程:联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是指等式），称之为微分方程.2.常微分方程和偏微分方程:(1)如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,例如)(22tfcydtdybdtyd,0)(2ydtdytdtdy.(2)如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏微分方程.例如0222222zTyTxT,tTxT422.本书在不特别指明的情况下,所说的方程或微分方程均指常微分方程.3.微分方程的阶数:微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数.例如，)(22tfcydtdybdtyd是二阶常微分方程；0222222zTyTxT与tTxT422是二阶偏微分方程.4.n阶常微分方程的一般形式：(,,,...,)0nndydyFtydtdt,这里(,,,...,)nndydyFtydtdt是,,,...,nndydytydtdt的已知函数，而且一定含有nndydt的项；y是未知函数，t是自变量.5.线性与非线性：（1）如果方程(,,,...,)0nndydyFtydtdt的左端是y及,...,nndydydtdt的一次有理式，则称(,,,...,)0nndydyFtydtdt为n阶线性微分方程.（2）一般n阶线性微分方程具有形式：1111()...()()()nnnnnndydydyatatatyftdtdtdt这里1()at,…,()nat,()ft是t的已知函数.（3）不是线性方程的方程称为非线性方程.（4）举例：方程)(22tfcydtdybdtyd是二阶线性微分方程；方程0sin22lgdtd是二阶非线性微分方程；方程0)(2ydtdytdtdy是一阶非线性微分方程.6.解和隐式解：如果将函数()yt代入方程(,,,...,)0nndydyFtydtdt后，能使它变为恒等式，则称函数()yt为方程的解.如果关系式,0ty（）决定的隐函数()yt是方程的解，则称,0ty（）为方程的隐式解.7.通解与特解：把含有n个独立的任意常数nccc,...,,21的解12(,,,...,)nytccc称为n阶方程(,,,...,)0nndydyFtydtdt的通解.其中解对常数的独立性是指，对及其1n阶导数11,...,nndddtdt关于n个常数nccc,...,,21的雅可比行列式不为0,即1212(1)(1)(1)120nnnnnnccccccccc.为了确定微分方程一个特定的解，通常给出这个解所必须满足的条件，称为定解条件.常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程(,,,...,)0nndydyFtydtdt的初始条件是指如下的n个条件：1(1)(1)00001,,...,nnndydyttyyyydtdt，，这里(1)(1)0000,,,...,ntyyy是给定的n+1个常数.求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题.当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题.把满足初始条件的解称为微分方程的特解.初始条件不同，对应的特解也不同.(二)解析方法1．变量分离方程形如()()dyftydt的方程为变量分离方程，其中(),()fty分别为,ty的连续函数.方程解法如下：若()0y，则()()()()dyftdtydyftdtcy上式确定方程的隐式通解.如果存在0y，使得00y，则0yy也是方程的解.2.可化为变量分离方程的方程(1)齐次方程形如()dyygdtt的方程为齐次方程，gu为u的连续函数.解法如下：做变量替换yut，即yut，有dydutudtdt，从而原方程变为()dutugudt，整理有()duguudtt，此为变量分离方程，可求解.(2)形如111222atbycdydtatbyc的方程,其中121212,,,,aabbcc为常数.111222abckabc的情形.此时方程化为,dykdt可解得yktc.11220,abab即1122abkab的情形:令22,uatby则有122222kucdudyababdtdtuc此为变量分离方程.11220abab的情形对120cc的情况,直接做变量替换yut.当12,cc不全为零,求11122200atbycatbyc的解为ty.令TtYy,则方程组化为112200aTbYaTbY.原方程化为12()aTbYdYYgdTaTbYT的齐次方程可求解.3．一阶线性微分方程(1)一般形式：()()()0dyatbtyctdt，若()0at，则可写成()()dyPtyQtdt的形式.(2)一阶齐次线性微分方程：()dyPtydt，通解为(),Ptdtcec为任意常数.(3)一阶非齐次线性微分方程：()()dyPtyQtdt，()0Qt.(4)齐次线性微分方程的性质性质1必有零解0y;性质2通解等于任意常数c与一个特解的乘积;性质3任意两个解的线性组合也是该微分方程的解.(5)非齐次线性微分方程的性质性质1没有零解;性质2非齐次方程的解加上对应齐次方程的解仍为非齐次方程的解;性质3任意两个非齐次方程的解的差是相应齐次方程的解.(6)一阶非齐次线性微分方程的解法：(i)猜测-检验法对于常系数的情形，即()Pt为常数,此时方程为()dyayQtdt,a为常数.对应齐次方程的通解为atce,只需再求一个特解,这时根据()Qt为特定的函数,可猜测不同的形式特解.事实上,当()BtQtAe,,AB为给定常数,且Ba时可设待定特解为BtCe,而当Ba时,可设特解形式为BtCte,后代入方程可确定待定常数C.当()Qt为cos,sinAtAt或它们的线性组合时,其中A为给定常数.这时可设待定特解为cossinBAtCAt代入方程后确定,BC的值.当()Qt具有多项式形式1011nnnnatatata,其中01,,naaa为给定常数且00a,这时可设待定特解为1011nnnnbtbtbtb代入方程可求得,0,1,,ibin的值.对于()Qt有上述几种线性组合的形式,则可设待定特解是上述形式特解的线性组合.(ii)常数变易法:令()()Ptdtycte，代入方程，求出()ct后可求得通解为()()(())PtdtPtdtyeQtedtc.(iii)积分因子法:方程改写为()()dyPtyQtdt,将()Ptdte,乘方程两端得()()()()()PtdtPtdtPtdtdyeePtyQtedt即()()()()PtdtPtdtdyeQtedt,从而通解为()()()PtdtPtdtyeQtedtc，即()()(())PtdtPtdtyeQtedtc.注意,非齐次线性微分方程通解的结构是:非齐次线性微分方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解加上非齐次线性微分方程的一个特解.4.伯努利(Bernoulli)方程.形如()()ndyPtyQtydt的方程,其中n是常数且0,1,(),()nPtQt是连续函数,称为伯努利方程.伯努利方程可通过变量替换1nzy化为(1)()(1)()dynPtznQtdt,这是关于未知函数z的线性方程,可求其通解.(三)定性方法与数值方法：1.斜率场：一阶微分方程(,)dyftydt的解()yt代表ty平面上的一条曲线，称之为微分方程的积分曲线.微分方程(,)dyftydt的通解()yt，c对应于ty平面上的一族曲线，称之为微分方程的积分曲线族.满足初始条件00()yty的特解就是通过点00(,)ty的一条积分曲线.方程(,)dyftydt的积分曲线上的每一点(,)ty处的切线斜率dydt刚好等于函数(,)fty在这点的值.也就是，积分曲线的每一点(,)ty以及这点上的切线斜率dydt恒满足方程；反之，如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数(,)fty在这点的值，则这一条曲线就是方程的积分曲线.这样，可以用(,)fty在ty平面的某个区域D内定义过各点的小线段，其斜率为(,)fty，一般称这样的小线段为斜率标记.而对ty平面上D内任一点(,)ty,有这样一个小线段与之对应,这样在D内形成一个方向场,称为斜率场.斜率场是几何直观上描述解的常用方法2.欧拉方法：求微分方程初值问题00(,)()dyftydtyty的解，可以从初始条件00()yty出发，按照一定的步长t依照某种方法逐步计算微分方程的近似解()nnyyt,这里0nttnt这样求出的解称为数值解.利用欧拉公式10(,),nnnnnyyftytttnt,可求初值问题的近似解，这种方法称为欧拉方法.欧拉方法具有一阶误差精度.如果我们先用欧拉公式求出近似解,再利用梯形公式进行校正,得到的近似解将具有2阶误差精度,具体为预测:1(,)nnnnyyftyt,校正:11,11[(,)()]2nnnnnnyyftyftyt,这种方法称为改进的欧拉方法.(四)解的存在性、唯一性及解对初值的连续相依性1.利普希茨（lipschitz）条件:函数(,)fty称为在区域2DR内关于y满足利普希茨条件，是指如果存在常数0L，使得不等式1212(,)(,)ftyftyLyy对于所有的12(,),(,)tytyD都成立,其中L称为利普希茨常数.2.基本定理(1)解的存在性定理:设(,)fty在矩形区域2{(,):,}DtyatbcydR内连续.如果00(,)tyD,那么，存在0和函数()yt,定义于区间00(,)tt内，是初值问题00(,)()dyftydtyty的解.(2)解的唯一性定理:设(,)fty在矩形区域2{(,):,}DtyatbcydR内连续且关于y满足利普希茨条件.如果00(,)tyD并且12(),()ytyt是初值问题00(,)()dyftydtyty在区