换元思想在微积分中的应用

1换元思想在微积分中的应用高杨数学与信息学院数学与应用数学专业07级9班指导老师：郭潇摘要：高等数学是高等院校许多专业开设的一门重要的基础课程，而微积分是高等数学的基础，学习好这部分知识对后继课程的学习格外重要。那么怎样来学好它呢？除了对概念的深刻理解，再者就要多做相关的习题。在微积分的学习中，学习者要经常面对大量的计算。如果找不到合适的方法，会让学习者无所适从，掌握了解题方法对深刻理解微积分起到事半功倍的作用。其实数学解题的方法很多，需要我们慢慢的学习和积累。本文结合教学实际，列举出一些具体问题，单独对“换元”这一方法，对微积分相关问题加以讨论，或许能开拓学习者的解题思路，来解决实例问题。关键词：换元；高等数学；微积分；极限；微分；积分ThoughtsubstitutionofcalculusGaoYangMathematicsandInformationScienceMathematicsandAppliedMathematicsGrade07Instructor:GuoXiaoAbstract：Manyprofessionalinstitutionsofhigherlearninghighermathematicsisthecreationofanimportantbasiccourses,andcalculusisthefoundationofhighermathematics,studyandknowledgeofthispartofthesubsequentcoursesisparticularlyimportant.Sohowtolearnit?Exceptingdeepunderstandingofconcepts,weshoulddomorenecessaryprectice.Inthecalculusoflearning,learnersshouldalwaysfacealotofcalculations.Ifyoucannotfindasuitableway,youwillnotknowhowtomastertheproblem-solvingmethodsonadeepunderstandingofcalculusplayamultiplierrole.Infact,alotofmathematicalproblem-solvingapproach,weneedto2learnandaccumulateslowly.Thiscombinationofteachingpractice,anumberofspecificissueslistedseparatelyonthesubstitutionThismethod,discussedissuesrelatedtocalculus,maybeabletodevelopthelearner'sproblem-solvingideastosolvetheinstanceoftheproblem.Keywords:Substitution;HigherMathematics;Calculus;Limit;Differential;Integral微积分主要包括了极限、微分和积分，所以研究换元思想在微积分中应用，我们应该分别从这几个方面来研究。一、换元思想在极限中应用极限是高等数学的基本概念，求解极限的方法灵活多样。其中，洛必达法则和等价无穷小代换因具有广泛的适用范围而倍受重视。而换元的基本思想是指通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，发生有利的转化，从而达到解题的目的。下面举例谈谈换元法在求极限过程中的妙用。例1求下列函数的极限(1)21221limsin1xxxx,(2)11lim1xxxx.(1)解设t=x+1则21221limsin1xxxx=2011limsinttt=2011limsinttt221111tt=20limsin11ttttt=0limsinttt20lim11ttt=10=0(2)解设t=x3则11lim1xxxx=11lim1txtt=1111lim11ttxtt=11=2例2求xxxarcsinlim0.解．令t=arcsinx，则x=sint，于是原式=1sinlim1sin1limsinlim000ttttttttx.例3求xxx1elim0解．令t=ex1，则x=ln(1+t)．于是原式=1)1ln(1lim)1ln(lim00tttttt．二、换元方法在微分中的应用在求解微分的过程中，如果能根据问题的特点，灵活巧妙地结合换元法解题，就可以给解题带来方便，达到事半功倍的效果。下面谈谈换元思想在微分中的应用。例4求函数2arcsinxy的微分.解：由dydx=dydududx的积分公式知先设2arcsinux则uyududydxdx以上类推，再令2tx211dtdudxdxt而dtdx=2x4所以2121udyxt=2arcsinx4121xx三、换元思想在积分中应用换元思想在积分中的应用是微积分学习中的重点内容，它能使解题思路更加清晰，使计算更加简单。而积分主要包括不定积分和定积分。下面谈谈换元思想在积分中的应用。1.不定积分的第一换元法凑微分先看一个例子：例5求21xxdx.解.因(1+x2)=2x，与被积函数的分子只差常数倍数2，如果将分子补成2x,即可将原式变形：原式=22211211221xxdxxdx(令u=1+x2)=CxCuudu|1|ln21ln21212.(代回u=1+x2)注.此例解法的关键是凑了微分d(1+x2)．一般地有第一换元公式(凑微分)：凑微分换元u=(x)积分代回u=(x)∫f[(x)](x)dx=∫f[(x)]d(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C其中函数u=(x)是可导的,且F(u)是f(u)的一个原函数．从上述公式可看出凑微分法的步骤：凑微分换元积分再换元(x)dx=d(x)u=(x)得F(u)+C得F[(x)]+C注.凑微分法的过程实质上是复合函数求导的连锁法则的逆过程.因在F(u)=f(u)的前提下,上述公式右端经求导即得:[F[(x)]+C]=F[(x)](x)=f[(x)](x).这就验证了公式的正确性．例6求∫(ax+b)mdx,(m≠1,a≠0).5解.原式=)()(1baxdbaxam(凑微分d(ax+b))=duuam1(换元u=ax+b)=Cumam1111(积分)=Cbaxmam1)()1(1.(代回u=ax+b)例7求dxxx32e.解.原式=3331xdxe(凑微分d(x3)=3x2dx)=duue31=Cue31=Cx3e31(换元u=x3).注.在熟练掌握凑微分法之后，中间换元u=(x)可省略不写,显得计算过程更简练,但要做到心中有数．例8求∫tanxdx.解.原式=xxddxxxcoscoscossin=ln|cosx|+C.同理可得∫cotxdx=ln|sinx|+C.例9求22axdx(a≠0).解.原式=2221111axaxdaaxdxa=Caxaarctan1.例10求22xadx(a0).解.原式=22111axaxdaxdxa=Caxarcsin.例11求)0(,122adxax.解.原式=dxaxaxa1121=axdxaxdxa216=axaxdaxaxda)()(21=CaxaxaCaxaxaln21lnln21.例12∫secxdx.解.原式=xxdxxdx22sin1sincoscos(换元u=sinx)=duuuudu11112112=uuduududuudu1)1(1)1(211121=CuuCuu11ln211ln1ln21(代回u=sinx)=CxxCxx22sin1)sin1(ln21sin1sin1ln21=CxxxCxxcossincos1lncossin1ln212=ln|secx+tanx|+C.2.不定积分第二换元法.第一换元法公式的核心是∫f[(x)](x)dx=∫f(u)du.从公式的左边演算到右边,就是凑微分换元:u=(x).如果我们从公式的右边演算到左边,就成为换元的另一种形式,称为第二换元法.即若u=(x)是单调可导函数,那么有公式换元u=(x)积分代回x=-1(u)∫f(u)du=∫f[(x)](x)dx=F(x)+C=F(-1(u))+C第二换元法常用于被积函数含有根式的情况.例13求xdx1,解.令2txtx(此处(t)=t2)．于是原式=dtttttdt111212=ttddtdtt1)1(221112=CxxCtt1ln221ln22(代回t=-1(x)=x).注.你能看到，换元x=t的目的在于将被积函数中的无理式转换成有理式,然7后积分．第二换元法除处理形似上例这种根式x以外，还常处理含有根式22ax，22ax，22xa(a0)的被积函数的积分．被积函数含根式换元方法运用的三角公式22axx=asectsec2t1=tan2t22axx=atanttan2t+1=sec2t22xax=asint1sin2t=cos2t例14求22axdx(a0).解.令x=asect，则dx=asecttantdt,于是原式=tatdttatantansec=∫sectdt=ln|sect+tant|+C1.到此需将t代回原积分变量x，用到反函数t=arcsecax，但这种做法较繁．下面介绍一种直观的便于实施的图解法：图2.1作直角三角形，其一锐角为t及三边a，x，22ax满足：sect=ax.由此，原式=ln|sect+tant|+C1=122122lnlnCaaxxCaaxax=aCaxxlnln122aCCln1Caxx22ln.注．C1是任意常数,lna是常数,由此C=C1lna仍是任意常数．例15求22axdx(a0).8解.令x=atant，则dx=asec2tdt，于是原式=tatdtasecsec2=∫sectdt=ln|sect+tant|+C1.图2.2图解换元得原式=ln|sect+tant|+C1=aCaxxCaxaaxlnlnln122122aCCln1Caxx22ln.公式:Caxxaxdx2222ln(a0).例16求dxxa22(a0).解.令x=asint，则dx=acostdt，于是原式=dttatdtata22cos1coscos2=Cttatdtdta2sin2122cos222=tttacossin22+C.图2.3图解换元得：原式=axaaxaxa222arcsin2+C=2222arcsin2xaxaxa+C.3.定积分换元法定理.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且函数x=φ(t)满足：9(1)在区间[α,β]上有连续导数φ/(t)；(2)当t在[α,β]上从α变到β时，φ(t)单调地从a变到b；