现代金融研究专题PPT-GARCH模型

1现代金融研究专题GARCH模型21、金融时间序列的特点尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融回报序列普遍表现出厚尾（fattails）和在均值处出现过度的峰度（excesspeakedness），偏离正态分布波动丛集性（volatilityclustering）和波动集中性（volatilitypooling），波动是自相关的正负冲击的非对称性：好消息和坏消息对投资者的影响以上的这些特点，传统计量经济学的线性回归模型是无法解决的。回归的结果可能是错误的3012(0,)ttttybbxuuiidN012012ˆˆ,ˆˆˆ((),)var(|)var()ttttttttxxybbxuyNbbExyxu41、金融时间序列的特点实证结果表明：金融资产的回报率并不完全满足正态分布对深市2000.1.4~2006.5.9日回报率样本偏度是0.75，峰度是8.91。由于大多数的金融资产具有明显的重尾性，可以采用两种方法进行改进条件分布：ARCH和GARCH寻找其他分布形式来描述，主要有t分布，GED分布和g&h分布050100150200250300350-0.05-0.000.05Series:R_SZZSSample11520Observations1519Mean5.60e-05Median0.000143Maximum0.094014Minimum-0.065430Std.Dev.0.013451Skewness0.751425Kurtosis8.916269Jarque-Bera2358.298Probability0.000000-6-4-202468-.08-.04.00.04.08.12R_SZZSNormalQuantileTheoreticalQuantile-Quantile7-.08-.06-.04-.02.00.02.04.06.0896M0196M0797M0197M0798M0198M07RETURN_MIDPRICE82ARCH模型ARCH，autoregressiveconditionallyheteroscedastic，自回归条件异方差模型条件：在时间序列中，给出不同的时点的样本（对于不同时点的观测值），得到残差的方差是不同的，故方差随时间给出的条件而变化，即异方差自回归：残差平方服从AR(p)过程若线性回归模型的误差实际上是异方差，却被假定为同方差，这就意味着标准误差的估计值是错误的。此时，参数的估计量的方差是有偏估计（或者不收敛，是时变的），统计检验和置性区间就不正确！9201011122221222222212222,(0,),0()ˆˆvar()var()var()(0,),var()ˆvar()var()()tttttttttttttttttttttttttttttttybbxuuiidNbxyxbxuxubbxxxxuxubxxxifuNxuxubxxx10普通最小二乘估计（OSL）：回归直线要使得残差平方和最小。异方差存在时，普通最小二乘估计法给误差方差大的观测值以较大的权重，给误差方差小的观测值以较小的权重。回归结果：使得残差平方和最小，故产生一个后果，只要方差大的那部分数据得到很好的拟合，这样普通最小二乘不再是有效的——参数估计量的方差不再是最小的方差。这样由OSL估计得到的参数估计量的方差是“伪方差”，无法证明回归参数与真实值的关系。11单指数模型的伪回归：中国银行12单指数模型的伪回归：中国银行048121620242832-0.050.000.05Series:ResidualsSample2132Observations131Mean-1.06e-19Median-0.001192Maximum0.084688Minimum-0.073893Std.Dev.0.015912Skewness1.104984Kurtosis12.85942Jarque-Bera557.2528Probability0.00000013单指数模型的伪回归：中国银行142.1条件矩条件均值对于时间序列x的每个值都存在一个时间序列y的条件分布||(|)(,)[|],(|)(|)()yxyyxxyyfyxdyfxyEYXfyxyfyxfx理解：条件期望是关于随机变量X的值的函数，对于X不同的取值，条件期望也是不同，即E(y|x)为随机变量。150120101ˆˆˆ,(0,)ˆˆ,,,ˆˆ(|)ttttttttttttttybbxyyuuiidNybbxuxyXYEyxbbx所谓条件期望值函数，也就是因变量对自变量的回归。在本例中，也就是y对x的回归条件均值是x的函数，若X是一个分布，则条件均值也是一个分布。回归与条件均值162.1条件矩迭代期望定理若将E(y|x)视为关于x的随机变量，则有|||()[(|)]()[(|)]yxxxyxXYXEYyfyxdyfxdxEEYX0101ˆˆ(|)ˆˆ()(|)()tttttxtttEyxbbxEyEEyxbbEx172.1条件矩条件方差22((|))(|)var[|]((|))(|)YYYEYXfYXdYYXYEYXfYX18回归与无条件方差201222222ˆˆ,,(0,)(())[(|)(|)()][((|))][((|)())]2[((|))((|)())][((|))][((|)())]tttybbxuxXuiidNTSSEYEYEYEYXEYXEYEYEYXEEYXEYEYEYXEYXEYEYEYXEEYXEYRSSESSESS误差平方和，RSS回归平方和，TSS总偏差平方和21ESSRSSRTSSTSS19无条件方差222[((|))](var[|])[((|)())][((|)((|)))]var[[|]]XXXESSEYEYXEYXRSSEEYXEYEEYXEEYXEYXvar[][var(|)]var[(|)]XXYEYXEYX由此得到方差分解公式：20现实中，金融时间序列存在着波动聚集性，而波动的来源是残差，假设较大的波动出现往往随后会出现较大的波动，即波动是相关的，也就是波动自回归的。212.2ARCH模型的导出011,22,2,...()0,()0,ttttttybbxbxuEutEuut注意：ut是一个白噪声，其无条件方差是一个常数。但是ut的条件方差随时间而变化，假设服从AR(1)过程（模型的名称来源）22011tttuuw2tu22220112()0,()0,tttttuuwEwtEwwt22221011(|)ttttEuuu回忆：条件期望值等价于回归01ˆˆ(|)tttEyxxChou，Korner（1992）23正态-ARCH（q）2011,22,222201122,...,(0,),...,tttttttttqtqybbxbxuuNuuu22201122(0,),...,tttttqtquNhhuuu或者或者222201122,(0,1),...,tttttttqtquvvNuuu242.3ARCH（1）模型的参数约束1111()((|)()[(|)](0,1)()[()][()]0tttxtutttttttuttuttEyEEyxEuEEuuuvvNEuEEvEEv又，11112112201110111011var[]var[(|)][var(|)]var()(var(|)(|)(|)(|)var()ttttxxtuttuttuttutttyEyxEyxuEuuEuEuuEuuu在这里我们还要考察残差序列的平稳性问题！25随机过程的平稳性平稳性：若随机过程的随机特征（如均值，方差）不随时间发生变化，则称该过程是平稳。区别：条件方差是时变的，故其为一个分布，但是该分布却是平稳的，即平稳随机过程的随机性质不随时间而变。平稳性的优点：（1）可用系数方程将时间序列的模型化；（2）方程的系数可以利用序列的过去数据来估计得到26随机过程的平稳性定义：平稳随机过程为其联合分布和条件分布均不随者时间而变化的过程。则若yt是平稳的，则对于任意的t，k和M，都有其联合分布满足22(,...,)(,...,),()(),(|)(|)()(),(())(())ttktmtkmttmttmtmtttmtttmtmfyyfyyfyfyfyyfyyEyEyEyEyEyEy并且回忆：任意的一个时间序列yt都可以被认为是由一组联合分布的随机变量生成，也称其为f(y)的一个实现。只有平稳的随机过程，其数字特征才是可测的。272.3ARCH（1）模型的参数约束由残差序列的平稳性可知110110120110()()0,var()var(),,(0,1)var()var()var()var()0101,0ttttttttttttEuEuuuuvvNuuuu这里由此可得282.3ARCH（1）模型的参数约束1114411422112210114221011422410112224001111,(0,1)((())|)(|)3|(|)|(|)3()((|))3()3(2)ttttttttttttttttttttttuttututtuvvNEuEuuEuuuuuuEuuumEEuuEuEuu以上考察的是一阶矩和二阶矩对参数的约束，下面考察高阶矩对参数的约束条件标准差的4次方无条件的4阶中心矩29ARCH的参数的约束114441201122400114221014120142112211()()()var()13(2var())3(12)313(1)0(1)(13)1130,03tttutututttmEuEuEuumummm又平稳性30ARCH的参数的约束在给出无条件4阶矩和2阶矩的基础上，则残差序列ut的无条件峰度K2201042221112211213(1)()[](1)(13)11133,(0)133mk该ARCH模型估计的残差序列的无条件分布具有尖峰重尾性，进一步31ARCH与重尾性参看均值方程的情形，若假设某资产的回报率满足01tttrbbxu由于均值方程中只有残差是随机过程，则有442222()()3[var()][var()]ttttmrmukru以上表明，利用ARCH可以描述回报序列的重尾性！32实证：中石化ARCH（1）2110.20,1/333ARCH的缺陷ARCH模型对参数的限制非常严格。ARCH（1）对于参数给出的非常严格的限制，并且随着ARCH阶数的增加，其限制将更为复杂，在实际的回归过程中，可能很难满足这样的条件。ARCH（1）描述金融时间序列是不够的，ARCH（P）需要大量的参数估计，且要保证所有的参数均满足参数约束是很困难的，以及保证显著性是很困难的。现在，ARCH主要是用来检验金融时间序列是否具有条件异方差效应，即ARCH检验。342.4ARCH效应检验（1）进行均值方程的回归，可以采用普通的一元或者多元回归，或者是AR(n)的均值方程，均值方程的构建取决于金融学的研究目的