控制系统数字仿真与CAD第二章习题答案

12-1思考题：（1）数学模型的微分方程，状态方程，传递函数，零极点增益和部分分式五种形式，各有什么特点？（2）数学模型各种形式之间为什么要互相转换？（3）控制系统建模的基本方法有哪些？他们的区别和特点是什么？（4）控制系统计算机仿真中的“实现问题”是什么含意？（5）数值积分法的选用应遵循哪几条原则？答：（1）微分方程是直接描述系统输入和输出量之间的制约关系，是连续控制系统其他数学模型表达式的基础。状态方程能够反映系统内部各状态之间的相互关系，适用于多输入多输出系统。传递函数是零极点形式和部分分式形式的基础。零极点增益形式可用于分析系统的稳定性和快速性。利用部分分式形式可直接分析系统的动态过程。（2）不同的控制系统的分析和设计方法，只适用于特定的数学模型形式。（3）控制系统的建模方法大体有三种：机理模型法，统计模型法和混合模型法。机理模型法就是对已知结构，参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，经过合理的分析简化建立起来的各物理量间的关系。该方法需要对系统的内部结构和特性完全的了解，精度高。统计模型法是采用归纳的方法，根据系统实测的数据，运用统计规律和系统辨识等理论建立的系统模型。该方法建立的数学模型受数据量不充分，数据精度不一致，数据处理方法的不完善，很难在精度上达到更高的要求。混合法是上述两种方法的结合。（4）“实现问题”就是根据建立的数学模型和精度，采用某种数值计算方法，将模型方程转换为适合在计算机上运行的公式和方程，通过计算来使之正确的反映系统各变量动态性能，得到可靠的仿真结果。（5）数值积分法应该遵循的原则是在满足系统精度的前提下，提高数值运算的速度和并保证计算结果的稳定。22-2.用matlab语言求下列系统的状态方程、传递函数、零极点增益、和部分分式形式的模型参数，并分别写出其相应的数学模型表达式：(1)G（s）=324327242410355024sssssss(2).X=2.25-5-1.25-0.542.25-4.25-1.25-0.2520.25-0.5-1.25-121.25-1.75-0.25-0.750Xuy=[0202]X（1）解：（1）状态方程模型参数:编写matlab程序如下num=[172424];den=[110355024];[ABCD]=tf2ss(num,den)得到结果：A=-10-35-50-24100001000010,B=1000,C=172424,D=[0]所以模型为:.X=-10-35-50-24100001000010X+1000u,y=172424X(2)零极点增益:编写程序num=[172424];den=[110355024];[ZPK]=tf2zp(num,den)得到结果Z=-2.7306+2.8531,-2.7306-2.8531i,-1.5388P=-4,-3,-2,-1K=1(3)部分分式形式:编写程序num=[172424];den=[110355024];[RPH]=residue(num,den)得到结果R=4.0000,-6.0000,2.0000,1.0000P=-4.0000,-3.0000,-2.0000,-1.0000H=[]3G(s)=46214321ssss（2）解：（1）传递函数模型参数：编写程序A=[2.25-5-1.25-0.52.25-4.25-1.25-0.250.25-0.5-1.25-11.25-1.75-0.25-0.75]；B=[4220]';C=[0202];D=[0];[numden]=ss2tf(A,B,C,D)得到结果num=04.000014.000022.000015.0000den=1.00004.00006.25005.25002.2500324324s+14s+22s+15()s+4s+6.25s+5.25s+2.25Gs(2)零极点增益模型参数:编写程序A=[2.25-5-1.25-0.52.25-4.25-1.25-0.250.25-0.5-1.25-11.25-1.75-0.25-0.75]；B=[4220]';C=[0202];D=[0];[Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D)得到结果Z=-1.0000+1.2247i-1.0000-1.2247i-1.5000P=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660i-1.5000-1.5000K=4.0000表达式4s+1-1.2247is+1+1.2247i()s+0.5-0.866is+0.5+0.866is+1.5Gs（3）部分分式形式的模型参数：编写程序A=[2.25-5-1.25-0.52.25-4.25-1.25-0.250.25-0.5-1.25-11.25-1.75-0.25-0.75]；4B=[4220]';C=[0202];D=[0];[numden]=ss2tf(A,B,C,D)[R,P,H]=residue(num,den)得到结果R=4.0000-0.00000.0000-2.3094i0.0000+2.3094iP=-1.5000-1.5000-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660iH=[]42.30942.3094()1.50.50.8660.50.866iiGsssisi2-3.用欧拉法求下面系统的输出响应y(t)在0≤t≤1上，h=0.1时的数值。',(0)1yyy要求保留4位小数，并将结果与真解()tyte比较。解：欧拉法1'00*(,)(,)()kkkkkkyyhftyyftyyty（前向欧拉法,可以自启动）其几何意义：把f(t,y)在[,kkty]区间内的曲边面积用矩形面积近似代替。利用matlab提供的m文件编程，得到算法公式。如下所示（1）m文件程序为h=0.1;disp('函数的数值解为');%显示‘’中间的文字%disp('y=');%同上%y=1;fort=0:h:1m=y;disp(y);%显示y的当前值%y=m-m*h;end保存文件q2.m在matalb命令行中键入q25得到结果函数的数值解为y=10.90000.81000.72900.65610.59050.53140.47830.43050.38740.3487（2）另建一个m文件求解tye在t[0,1]的数值（%tye是',(0)1yyy的真解%）程序为h=0.1;disp('函数的离散时刻解为');disp('y=');fort=0:h:1y=exp(-t);disp(y);end保存文件q3.m在matalb命令行中键入q3函数的离散时刻解为y=10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679比较欧拉方法求解与真值的差别欧拉10.90000.81000.72900.65610.59050.53140.47830.43050.38740.3487真值10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679误差0-0.0048-0.0007–0.0118–0.0142–0.0160–0.0174–0.0183–0.0188-0.0192-0.0192显然误差与2h为同阶无穷小，欧拉法具有一阶计算精度，精度较低，但算法简单。2-4用二阶龙格库塔法求解2-3的数值解，并于欧拉法求得的结果比较。解：我们经常用到预报-校正法的二阶龙-格库塔法，112121'()2(,)(,)(,)kkkkkkhyykkkftykfthyhkftyy此方法可以自启动，具有二阶计算精度，几何意义：把f(t,y)在[,kkty]区间内的曲边面积用上下底为kf和1kf、高为h的梯形面积近似代替。利用matlab提供的m文件编程，得到算法公式。如下所示6（1）m文件程序为h=0.1;disp('函数的数值解为');disp('y=');y=1;fort=0:h:1disp(y);k1=-y;k2=-(y+k1*h);y=y+(k1+k2)*h/2;end保存文件q4.m在matlab的命令行中键入q4显示结果为函数的数值解为y=10.90500.81900.74120.67080.60710.54940.49720.45000.40720.3685（2）比较欧拉法与二阶龙格-库塔法求解.（误差为绝对值）真值10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679龙库10.90500.81900.74120.67080.60710.54940.49720.45000.40720.3685误差00.00020.00030.00040.00050.00060.00060.00060.00070.00060.0006明显误差为3h得同阶无穷小，具有二阶计算精度，而欧拉法具有以阶计算精度，二阶龙格-库塔法比欧拉法计算精度高。2-5．用四阶龙格-库塔法求解题2-3数值解，并与前两题结果相比较。解：四阶龙格-库塔法表达式112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)kkkkkkkkkkhyykkkkkftyhhkftykhhkftykkfthyhk，其截断误差为5h同阶无穷小，当h步距取得较小时，误差是很小的.(1)编辑m文件程序h=0.1;7disp('四阶龙格-库塔方法求解函数数值解为');disp('y=');y=1;fort=0:h:1disp(y);k1=-y;k2=-(y+k1*h/2);k3=-(y+k2*h/2);k4=-(y+k3*h);y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;end保存文件q5.m在matlab命令行里键入q5得到结果四阶龙格-库塔方法求解函数数值解为y=10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679(2)比较这几种方法：对于四阶龙格-库塔方法真值10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679龙库10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679误差00000000000显然四阶龙格-库塔法求解精度很高，基本接近真值。三种方法比较可以得到精度（四阶）〉精度（二阶）〉精度（欧拉）2-6．已知二阶系统状态方程为.1111210111.2222021222(0);;(0)xaaxxbxuxbxxaax写出取计算步长为h时，该系统状态变量X=[12,xx]的四阶龙格-库塔法递推关系式。解：四阶龙格-库塔法表达式112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)kkkkkkkkkkhyykkkkkftyhhkftykhhkftykkfthyhk所以状态变量的递推公式可以写作：8A=11122122aaaa,B=12bb,12xxx可以写成.XAXBu则递推形式112341213243*(22)6(*/2)(*/2)(*)kkkkkkhXXkkkkkAXBukAXkhBukAX