应用数值分析(第四版)课后习题答案第10章

第十章习题解答1、用Euler方法及改进的Euler方法求解初值问题'[0,1](0)2yxyxy取0.1h，并将计算结果与精确值相比较。解：(,)fxyxy,由Euler公式及改进的Euler方法，代入0.1h，有11Euler0.90.1Euler0.9050.0950.005nnnnnnyyxyyx方法改进的方法，依次计算结果如下01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91.021.80001.63001.48701.36831.27151.19441.13501.09151.06231.046121.81501.65711.52371.41241.32121.24821.19161.14991.12nnnnxyy171.105621.81451.65621.52251.41101.31961.24641.18981.14801.11971.1036yny为Euler方法的结果，ny为改进的Euler方法的结果，y为精确解。2、用梯形公式求解初值问题'0(0)1yyxy证明其近似解为()nnahyah。证明：采用梯形公式得近似解为112(1)(1),222nnnnhhhyyyyh，因此可得21202222()()()2222nnnnnhhhhyyyyhhhh。证毕。3、试用Euler公式计算积分20xtedt在点x=0.5,1,1.5,2的近似值。解：2(,)2xfxyxe由Euler公式得212*0.5nxnnnyyxe，计算可得0123400.511.5200.64202.00116.745034.0441nnnxy4、定初值问题'000sin()yyxxyxy试用Taylor展开法导出一个三阶的显式公式。解：由Taylor公式，并代入'sinyy可得''2342341()()()()()()2!3!sin2cos2sinsin()22!3!nnnnnnnnnnnyxyxyxhyxyxhhhOhyyyyyyhhhOh故三阶的显式公式为231sin2cos2sinsin46nnnnnnyyyyyyhhh5、已知初值问题'2[0,1](0)0yxxyxy试分别用改进的Euler方法和四阶R-K方法求解此问题，取步长为0.5h.解：2(,)fxyxxy,由改进的Euler方法和四阶R-K方法，代入0.5h，1111112341213243(,)Euler((,)(,))2(22)6(,)11(,)2211(,)22(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyyhfxyhyyfxyfxyhRKyykkkkkfxykfxhyhkkfxhyhkkfxhyhk改进的方法四阶算法计算可得01200.5100.18750.710900.14390.6329nnnnxyy其中ny为改进的Euler方法的结果，ny为四阶R-K方法的结果。6、试证明对任意的参数a，以下Runge-Kutta公式是一个二阶公式，并导出其数值稳定条件。12312131()2(,)(,)((1),(1))nnnnnnnnhyykkkfxykfxahyhkkfxahyahk证明：将23,kk做二元Taylor展开''221''231(,)(,)(,)()(,)(1)(,)(1)(,)()nnxnnynnnnxnnynnkfxyahfxyhkfxyOhkfxyahfxyahkfxyOh代入得''21122''3(2(,)(,)(,)())2(,)(,)(,)())22nnnnxnnynnnnnxnnynnhyyfxyhfxyhkfxyOhhhyhfxyfxyffxyOh再将1()nyx在点nx展开'231()()()()()2!nnnnyxyxyxyxhhOh，式中'''''()(,)()nnnnxyyxfxyyxfff代入后有''231()()()2!xynnfffyxyxfhhOh故3111()()nnnEyxyOh，即对任意的参数a，公式是二阶公式。下面讨论公式的数值稳定条件:取模型方程'y,将(,)fxyy代入ik得到121131(,)(,)()(1)((1),(1))(1(1))nnnnnnnnnnkfxyykfxahyhkyhkhykfxahyahkahy再代入123()2nnhyykk得到21[1(1)()]2nnayyhh于是21|1(1)()|2nnahh绝对稳定区为2|1(1)()12ahh7、试证明以下Runge-Kutta公式是一个三阶公式，并导出其数值稳定条件。1123121321(234)9(,)11(,)2233(,)44nnnnnnnnyykkkkhfxykhfxhykkhfxhyk证明：将23,kk做三元Taylor展开22''''''''3112122''''''''3223211(()())222424331999(()())44216816xyxxxyyyxyxxxyyyhhhkkkhffkffffOhhhkkkhfhfkffffOh代入得''22312222''''24993(9(2)())9222(2)()226nnxyxxxyyynxyxxxyxyyyhhfyyfffhfhffkfOhhhhyhffffffffffffOh再将1()nyx在点nx展开''2341()()()()()()2!3!nnnnnyxyxyxyxyxhhhOh式中'''''()(,),()nnnnxyyxfxyyxfff'''''''''2''()2nxxxyxyyyyxffffffff代入后有''32''''''2''41()()(2)()2!3!xynnxxxyxyyyfffhyxyxfhhffffffffOh故4111()()nnnEyxyOh，即公式是三阶公式。下面讨论公式的数值稳定条件:取模型方程'y,将(,)fxyy代入ik得到12112322(,)111(,)()(1)222233333(,)()(1())44448nnnnnnnnnnnkhfxyhyhkhfxhykhykhykhfxhykhykhhhy再代入11231(234)9nnyykkk得到23111[1()()]26nnyyhhh于是23111|1()()|26nnhhh绝对稳定区为2311|1()()|126hhh8、用Euler方法求解下列问题，从数值稳定性条件考虑，对步长应做什么限制？（1）'6[0,10](0)xyyexya（2）'2101[0,10]1(0)0xyyxxy解：由Euler公式1(,)nnnnyyhfxy对（1）1(6)nxnnnyyhye，若第n步和第n+1步分别有误差，则上式变为1(16)nnyhy，两式相减得到11(16)()nnnnyyhyy故当1|16|1,3hh即0时，（1）用Euler方法求解是数值稳定的。对（2）1210(1)1nnnnnxyyyhx，若第n步和第n+1步分别有误差，则上式变为12101nnnnnxyyyx，两式相减得到11210(1)()1nnnnnnxyyhyyx故当2102|1|1,15nnxhhx即0时，（2）用Euler方法求解是数值稳定的。9、用二阶的Adams预估校正公式求解初值问题'1(0)0yyy取步长0.2h，求出1.0x时的近似值，表头用改进的Euler方法（保留小数点后三位）。解：计算结果如下：01234500.20.40.60.81.000.1800.3290.4510.5510.632nnnxy10、对初值问题'0010()yyyxy用以下二阶R-K方法求解，并导出其绝对稳定域。1121211()2(,)(,)nnnnnnyykkkhfxykhfxhyk解：(,)10fxyy，代入二阶R-K方法可得150nnnyyhy，若第n步和第n+1步分别有误差，则上式变为1(150)nnyhy，两式相减得到11(150)()nnnnyyhyy，于是1|150|nnh，其绝对稳定区为|150|1h。11、试推导三阶的Adams显式和隐式，并写出其带修正的预估校正公式。解：三阶Adams显式公式的推导:由公式1),()()(1nnxxnndxyxfxyxy，取nnnxxx,,12作差值节点，得))()((!3)())(,())(())(())(,())(())(())(,())(())(()()(),(12)3(212111121222212122nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxfxyxfxxxxxxxxxyxfxxxxxxxxxyxfxxxxxxxxxRxPyxf将)(2xP代入公式，并作代换thxxn可得)51623(12)()(211nnnnnfffhxyxy局部截断误差为),()(249)(2)4(4211nnxxnxxyhdxxREnn三阶Adams隐式公式的推导:由公式1),()()(1nnxxnndxyxfxyxy，取11,,nnnxxx作差值节点，得))()((!3)())(,())(())(())(,())(())(())(,())(())(()()(),(11)3(111111111111111122nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxfxyxfxxxxxxxxxyxfxxxxxxxxxyxfxxxxxxxxxRxPyxf将)(2xP代入公式，并作代换thxxn可得)85(12)()(111nnnnnfffhxyxy局部截断误差为),()(241)(11)4(4211nnxxnxxyhdxxREnn带修正的预估校正公式：表头：三阶R_K公式P：)51623(12)(211nnnnnfffhxyPM：nnnnPCPm(10911)（第一次修正值取0）E：),(111nnnmxffC：)8),(5(121111nnnnnnffmxfhyCM：)(1011111nnnnPCCyE：),(111nnnyxff，为下一步计算2ny用