应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则并列举克拉默法则的应用

１绍兴文理学院数学专业论文应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则并列举克拉默法则的应用院系：数理信息学院专业：数学与应用数学（师范）2012级曹炼壹陈楚群陈杭宇陈瑶陈羽白指导老师：何济位２目录一、摘要及关键词.........................................3二、克拉默法则介绍.......................................3三、克拉默法则的局限与推广...............................4四、应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则（1）矩阵秩与线性方程组解的关系关系..................5(2)应用关系推导克拉默法则...........................6五、克拉默法则的应用.....................................8六、结束语...............................................11七、参考文献............................................12３一、摘要：线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。本文描述了克拉默法则产生的背景与局限，归纳了克拉默法则及其推广及其证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。关键词：克拉默法则；线性方程组；矩阵秩；克拉默法则的应用二、克拉默法则介绍克拉默法则（Cramer'sRule），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。线性代数是代数学的一个重要的组成部分，广泛地应用与现代科学的许多分支。其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。对此通常有两种方法，即消元法和克拉默法则。在中古代，《九章算术》的成书年代就已经将消元法运用自如了，它与现代的矩阵初等变换法则非常相似，而在西方，类似的方法到1826年才被高斯（1777-1855）发现并创建，因而称之为高斯消元法。至于克拉默法则，它是瑞士数学家克拉默（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的，它是按行列式形式来求解线性方程组的，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，其简洁、优美的表述方式堪称数学学科符号化的一个典范。n元线性方程组克拉默法则：设n元线性方程组为nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111４若系数行列式0D，则方程组有唯一解，即DDxDDxDDxnn,,,2211其中，),,2,1(niDi,是把系数行列式D的第i列元素换为方程组等号右边的常数列nbbb,,,21所得的n阶行列式，系数行列式D为nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211定理中包含着三个结论:（1)方程组有解;（2)解是唯一的;（3)解可以由公式计算出克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题，如果线性方程组中未知量的个数与方程的个数相等且系数矩阵的行列式不为零时,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,若系数矩阵的行列式等于零或者方程的未知量的个数与方程的个数不相等,则不能直接运用克拉默法则。三、克拉默法则的局限与推广局限性:(1)克拉默法则只能用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组；(2)克拉默法则只能求得系数行列式不为零时的线性方程组的唯一解；即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数行列式等于零，则Crammer法则失效。(3）计算量大，要计算n+1个n阶行列式的值。５改进：1、当系数矩阵A行列式不为零时，逆矩阵存在,此时X=A-1.b，其中1A是矩阵A的逆矩阵。2、利用矩阵的加法以及数乘运算的法则可知，普通行列式的性质及展开定理，对于广义行列式也同样成立。广义克拉默法则：未知的nm矩阵mm22m11m2222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnn若系数行列式0mnaD，则方程组有唯一解，即DDxDDxDDxnn,,,2211其中，),,2,1(niDi,是把系数行列式D的第i列元素换为方程组等号右边的常数列m21,,,bbb所得的n阶行列式，系数行列式D为nnnaaaaaaaaaDm2m1m2222111211四、应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则（1）矩阵秩与线性方程组解的关系设n元线性方程组AX=b，其中A和[A|b]分别为m×n阶系数矩阵与m×（n+1）阶增广矩阵,６矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称为线性方程组的系数矩阵矩阵mmnmmnnbaaabaaabaaabAB21222221111211)|(称为线性方程组的增广矩阵。则有：（1）方程组AX=b无解当且仅当r（A）＜r[A|b]（2）方程组AX=b有唯一解当且仅当r（A）=r（A|b）=n（3）方程组AX=b有无穷多解当且仅当r（A）=r（A|b）＜n对于齐次线性方程组。显然有r（A）=r（A|b），所以齐次线性方程组一定解00,021nxxx（2）应用关系推导克拉默法则若方程组有且只有一个解，则根据矩阵秩与线性方程组的关系，得：r（A）=r（A|b）=n，所以可以通过消元变换(将一方程的倍加到另一个上)变为同解方程组.７证明首先,通过消元法我们证明方程组（a）可化为下列形式的同解方程组.(1)若,11a用111aai乘第1个方程加到第i方程上,方程组(a)就可以化为方程组(c)的形式;(2)若,但某个,则先将第个方程加到第1个方程上,再进行按上面的方法进行;(3)若,结论成立.对于方程组（c）的后n-1个方程再进行同样的处理即知本引理成立.由上述引理,方程组(a)与（b）同解,且它们的系数行列式相等,即.再对方程组（b）从下向上逐步消元知,方程组（a）与同解,因为0,21naaa，所以再由行列式的性质,我们还有８,,......,.于是.四、克拉默法则的应用1、在解线性方程组中的应用下面我就低阶线性方程组在下列两种情形中克拉默法则的应用情况进行讨论。情形1自由未知量的个数等于方程个数,即nm。情形1.1系数矩阵行列式不等于零（0D)例16154699536623zyxzyxzyx解0271546953623D,所以原方程组有解,利用克拉默法则，则54646953623,811566993663,1081546959626321DDD９所以原方程组的解为2,3,4321DDzDDyDDx推论：例20232030332zyxzyxzyx解07232113332D,利用克拉默法则0032013032,0202103302,0230110330321DDD,所以原方程组的解为0,0,0321DDzDDyDDx.情形1.2系数矩阵行列式等于零（0D)利用秩来判断方程组是否有唯一零解或无穷解例313435123632zyxzyxzyx解0435123312D，故不能直接运用克拉默法则，对其增广矩阵作初等行变换：6000671052111343511236312),(bAB由于)()(,3)(,2)(BRARBRAR，故原方程组无解。例40332030332zyxzyxzyx解000001100221033201130332),(bAB只有零解则齐次线性方程组若0,0,AxAAnn１０由于32)()(BRAR，故原方程有无穷多解。情形2自由未知量的个数与方程组的个数不相等此时不能直接运用克拉默法则解方程组，可利用增光矩阵的行变换解题,但是还可利用克拉默法则的推广解这个方程组。例5972067452296385232143214324214321xxxxxxxxxxxxxxxxx解在此线性方程组bAx中，系数矩阵A是45型矩阵，且4)(),(ARbAR，所以方程组有唯一解，但由于系数矩阵不是方阵，故将该线性方程组的求解转化为求解下面的线性方程组：bAAxA''43210712674121206031151206261771051423121012xxxx=9059806261771051423121012整理得56982043774947249124423147423152315104321xxxx解得：1,1,4,34321xxxx若方程组存在无穷多组解，则只能根据方程组的增广矩阵的秩判断，不能用克拉默法则去求该方程组的解。例6030334zyxzyx１１解097-10034-01013-103-3-4),(bAB由于3)()(BRAR,所以原方程组有无穷多解。2、应用:根据解的个数求方程组中未知系数。推论：例5解：五、结束语本文主要克拉默法则在方程组求解问题中的应用为主线研究克拉默法则。在学习克拉默法则之前,我们学习了各种求行列式值的方法,而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。如果线性方程组中未知量的个数与方程的个数相等且系数矩阵的行列式不为零时,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,若系数矩阵的行列式等于零或者方程的未知量的个数与方程的个数不相等,则不能直接运用克拉默法则,这时就需要对克拉默进行推广,进行推广之后的克拉默法则,无论方程的未知量的个数与方程的个数是否相等,均可以将方程的解求出。而对于方程组的求解，我们要进行两方面的讨论：（1)方程组有唯一解时，我们可以利用克拉默法则求出其解，且快而明了；（2）当方程组的解不唯一或者不存在时，我们可以根据方00,AAxAnn有非零解，则必有若齐次线性方程组有非零解取何值时，方程组000321321321xxxxxxxxx120)1)(2(1111111)2(1111112＝或A１２程组的有解判别定理，通过比较方程组系数矩阵的秩、增广矩阵的秩与自由未知量的个数三者之间的关系得出原线性方程组的解的情况。六、参考文献：[1]陈亦佳.高观点下方程组的求解[J].玉溪师范学院学报,2011,24(4):49-54.[2]胡康秀、王兵贤.克拉默（Cramer）法则的推广及Matlab实现[J].牡丹江教育学院学报，2008，（1）：141-142.[3]张禾瑞.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2004.[4]莫里斯·克莱因.古今数学思想[M].万伟勋，石生明，孙树本，等译.上海：上海科学技术出版社，2000.[5]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.