实验四线性系统时域响应分析

实验四线性系统时域响应分析一、实验目的1．熟练掌握step()函数和impulse()函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。2．通过响应曲线观测特征参量和n对二阶系统性能的影响。3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。二、基础知识及MATLAB函数（一）基础知识时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。用MATLAB求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s的降幂排列写为两个数组num、den。由于控制系统分子的阶次m一般小于其分母的阶次n，所以num中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。1．用MATLAB求控制系统的瞬态响应1）阶跃响应求系统阶跃响应的指令有：step(num,den)时间向量t的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出step(num,den,t)时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10）[y，x]=step(num,den)返回变量y为输出向量，x为状态向量在MATLAB程序中，先定义num,den数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。考虑下列系统：25425)()(2sssRsC该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s的降幂排列。则MATLAB的调用语句：num=[0025];%定义分子多项式den=[1425];%定义分母多项式step(num,den)%调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲线grid%画网格标度线xlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’)%给坐标轴加上说明title(‘Unit-stepRespinseofG(s)=25/(s^2+4s+25)’)%给图形加上标题名则该单位阶跃响应曲线如图2-1所示：为了在图形屏幕上书写文本，可以用text命令在图上的任何位置加标注。例如：text(3.4,-0.06,’Y1’)和text(3.4,1.4,’Y2’)第一个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4,y=-0.06上书写出’Y1’。类似地，第二个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4,y=1.4上书写出’Y2’。若要绘制系统t在指定时间（0-10s）内的响应曲线，则用以下语句：num=[0025];den=[1425];t=0:0.1:10;step(num,den,t)即可得到系统的单位阶跃响应曲线在0-10s间的部分，如图2-2所示。2）脉冲响应①求系统脉冲响应的指令有：impulse(num,den)时间向量t的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出图2-1二阶系统的单位阶跃响应图2-2定义时间范围的单位阶跃响应impulse(num,den,t)时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10）[y,x]=impulse(num,den)返回变量y为输出向量，x为状态向量[y,x,t]=impulse(num,den,t)向量t表示脉冲响应进行计算的时间例：试求下列系统的单位脉冲响应：12.01)()()(2sssGsRsC在MATLAB中可表示为num=[001];den=[10.21];impulse(num,den)gridtitle(‘Unit-impulseResponseofG(s)=1/(s^2+0.2s+1)’)由此得到的单位脉冲响应曲线如图2-3所示：②求脉冲响应的另一种方法应当指出，当初始条件为零时，G(s)的单位脉冲响应与sG(s)的单位阶跃响应相同。考虑在上例题中求系统的单位脉冲响应，因为对于单位脉冲输入量，R(s)=1所以sssssssGsCsRsC112.012.01)()()()(22因此，可以将G(s)的单位脉冲响应变换成sG(s)的单位阶跃响应。向MATLAB输入下列num和den，给出阶跃响应命令，可以得到系统的单位脉冲响应曲线如图2-4所示。num=[010];图2-3二阶系统的单位脉冲响应den=[10.21];step(num,den)gridtitle(‘Unit-stepResponseofsG(s)=s/(s^2+0.2s+1)’)3）斜坡响应MATLAB没有直接调用求系统斜坡响应的功能指令。在求取斜坡响应时，通常利用阶跃响应的指令。基于单位阶跃信号的拉氏变换为1/s，而单位斜坡信号的拉氏变换为1/s2。因此，当求系统G(s)的单位斜坡响应时，可以先用s除G(s)，再利用阶跃响应命令，就能求出系统的斜坡响应。例如，试求下列闭环系统的单位斜坡响应。11)()(2sssRsC对于单位斜坡输入量，R(s)=1/s2，因此ssssssssC1)1(1111)(222在MATLAB中输入以下命令，得到如图2-5所示的响应曲线：num=[0001];den=[1110];step(num,den)title(‘Unit-RampResponseCuveforSystemG(s)=1/(s^2+s+1)’)图2-4单位脉冲响应的另一种表示法图2-5单位斜坡响应2.特征参量和n对二阶系统性能的影响标准二阶系统的闭环传递函数为：2222)()(nnnsssRsC二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。1）对二阶系统性能的影响设定无阻尼自然振荡频率)/(1sradn，考虑5种不同的值：=0,0.25,0.5,1.0和2.0，利用MATLAB对每一种求取单位阶跃响应曲线，分析参数对系统的影响。为便于观测和比较，在一幅图上绘出5条响应曲线（采用“hold”命令实现）。num=[001];den1=[101];den2=[10.51];den3=[111];den4=[121];den5=[141];t=0:0.1:10;step(num,den1,t)gridtext(4,1.7,'Zeta=0');holdstep(num,den2,t)text(3.3,1.5,'0.25')step(num,den3,t)text(3.5,1.2,'0.5')step(num,den4,t)text(3.3,0.9,'1.0')step(num,den5,t)text(3.3,0.6,'2.0')title('Step-ResponseCurvesforG(s)=1/[s^2+2(zeta)s+1]')由此得到的响应曲线如图2-6所示：图2-6不同时系统的响应曲线2）n对二阶系统性能的影响同理，设定阻尼比25.0时，当n分别取1,2,3时，利用MATLAB求取单位阶跃响应曲线，分析参数n对系统的影响。num1=[001];den1=[10.51];t=0:0.1:10;step(num1,den1,t);grid;holdontext(3.1,1.4,'wn=1')num2=[004];den2=[114];step(num2,den2,t);holdontext(1.7,1.4,'wn=2')num3=[009];den3=[11.59];step(num3,den3,t);holdontext(0.5,1.4,'wn=3')由此得到的响应曲线如图2-7所示：3．系统稳定性判断1）直接求根判稳roots()控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。MATLAB中对多项式求根的函数为roots()函数。若求以下多项式的根24503510234ssss，则所用的MATLAB指令为：roots([1,10,35,50,24])图2-7n不同时系统的响应曲线ans=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000特征方程的根都具有负实部，因而系统为稳定的。2）劳斯稳定判据routh（）劳斯判据的调用格式为：[r,info]=routh(den)该函数的功能是构造系统的劳斯表。其中，den为系统的分母多项式系数向量，r为返回的routh表矩阵，info为返回的routh表的附加信息。以上述多项式为例，由routh判据判定系统的稳定性。den=[1,10,35,50,24];[r,info]=routh(den)r=13524105003024042002400info=[]由系统返回的routh表可以看出，其第一列没有符号的变化，系统是稳定的。注意：routh（）不是MATLAB中自带的功能函数，须自编一个routh（）函数，即将下面函数保存为routh.m文件，在commandWindow窗口输入“den=[1,10,35,50,24];[r,info]=routh(den)”上述命令即可运行成功。function[rtab,info]=routh(den)info=[];vec1=den(1:2:length(den));nrT=length(vec1);vec2=den(2:2:length(den)-1);rtab=[vec1;vec2,zeros(1,nrT-length(vec2))];fork=1:length(den)-2,alpha(k)=vec1(1)/vec2(1);fori=1:length(vec2),a3(i)=rtab(k,i+1)-alpha(k)*rtab(k+1,i+1);endifsum(abs(a3))==0a3=polyder(vec2);info=[info,'Allelementsinrow',...int2str(k+2)'arezeros;'];elseifabs(a3(1))epsa3(1)=1e-6;info=[info,'Replacedfirstelement;'];endrtab=[rtab;a3,zeros(1,nrT-length(a3))];vec1=vec2;vec2=a3;end三、实验内容1．观察函数step()和impulse()的调用格式，假设系统的传递函数模型为146473)(2342sssssssG可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。num=[137];den=[14641];step(num,den);grid;xlabel('t/s'),ylabel('c(t)');title('Unit-stepRespinseofG(s)=s^2+3s+7/(s^4+4s^3+6s^2+4s+1)')05101501234567Unit-stepRespinseofG(s)=s2+3s+7/(s4+4s3+6s2+4s+1)t/s(sec)c(t)num=[137];den=[14641];t=0:0.1:10;step(num,den,t)grid;xlabel('t/s'),ylabel('c(t)');title('Unit-stepRespinseofG(s)=s^2+3s+7/(s^4+4s^3+6s^2+4s+1)')01234567891001234567Unit-stepRespinseofG(s)=s2+3s+7/(s4+4s3+6s2+4s+1)t/s(sec)c(t)2．对典型二阶系统2222)(nnnsssG1）分别绘出)/(2sradn，分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线，分析参数对系统的影响，并计算=0.25时的时域性能指标sssprpettt,,,,。num=[004];den1=[104];den2=[114];den3=[124];den4=[144];den5=[184];t=0:0.1:20;step(num,