第三章人寿保险的精算现值

第三章人寿保险的精算现值本章结构离散型寿险的精算现值连续型寿险的精算现值人寿保险的精算现值两类寿险精算现值之间的关系本章学习目标理解寿险精算现值的含义熟悉离散型各险种寿险精算现值的计算公式熟练使用换算函数计算离散型各险种的寿险精算现值掌握离散型、连续型寿险精算现值之间的关系保费的分类-按保费缴纳的方式趸缴保费（一次性缴纳保费）自然保费(根据当年保险赔付成本确定的保费，年龄越大，缴纳的越多)均衡保费（定期缴纳保费）人寿保险给付方式的分类分为：连续型寿险和离散型寿险连续型寿险：保险金在死亡后立即赔付，以连续型未来寿命T(x)作为随机变量来计算期望值离散型寿险：保险金在死亡的年末赔付，以离散型未来寿命K(x)作为随机变量来计算期望值实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认为是立即赔付）人寿保险给付上的两大特点不确定性：是否发生给付不确定给付的时间不确定给付发生在较长时间以后，其成本受利率影响很大。净保费的计算原理收支平衡原理（精算等价原理）：净保费的精算现值＝保险赔付的精算现值它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入期望现时值等于支出期望现时值精算现值（包含两层含义）：保险赔付在投保时的期望现值把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求期望值精算现值=趸缴净保费由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以，以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期望值。第一节离散型寿险的趸缴净保费本节的主要目标理解趸缴净保费的计算公式并熟练应用掌握用换算函数计算各类离散型寿险趸缴净保费主要险种n年期定期寿险终身寿险n年期生存保险n年期两全保险延期m年的终身寿险延期m年的n年定期寿险递增终身寿险递减n年定期寿险一般变额寿险例3.1100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如果预定年利率为3%，各年预计的死亡人数分别为1、2、3、4、5人。每年的赔付支出及其折现值如表所示：年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值（1）（2）(3)=1000×(2)(4)(5)=(3)×(4)1110001.03-1970.872220001.03-21885.193330001.03-32745.434440001.03-43553.955550001.03-54313.04例3.1答案100张保单的未来赔付支出总现值平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现值）为：134.68元。1234510001.0320001.0330001.0340001.0350001.0313468.48基本符号——岁投保的人整值剩余寿命bk+1——保险金在死亡年末给付函数vk+1——贴现函数zk+1——保险赔付金在签单时的现时值E(ZK+1)——寿险的精算现值（趸缴净保费）kxK)(x111kkkvbz计算原理K的不同上下限，对应着不同的险种1111|11()Pr()kkkkkkxkkkkxxkkEZbvKkbvqbvpq（一）n年定期寿险给付函数保险金给付在签单时的现值随机变量趸缴净保费111,0,1,,10,,1,KKKvKnZbvKnn11,0,1,,10,,1,KKnbKnn10110|11|:)(nkkxxkknkxkknxqpvqvZEA趸缴净保费的变形公式1011|:nkkxknxxdvAl思考：该公式的含义？自然保费即中n=1的趸缴净保费.是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预定死亡率计算出的该年度的死亡纯保费。随着年龄的增长而提高,即年龄越大，自然保费就越高。在寿险实务中,一般不采用这种方式。1|:nxAxxxxldivqc11例3.2某人在40岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年，男女混合表），计算趸缴净保费。例3.2答案123401|402|4040:3|404041404142231000010000111100001(1)(1)49.28()Avqvqvqqpqppqiii元（二）终身寿险给付函数给付现值随机变量趸缴净保费1110,1,2KKKZbvvK，，11,0,1,2KbK，11|00()kkxkxkxxkkkAEZvqvpq例3.3张某50岁时购买了一份保额为100000元的终身寿险。已知：设预定利率为0.08求这份保单的趸缴净保费。10001105xxl551505050055(1)0561000001000005511000001.0855551110000011.081551.0811.0822421.91()kkkkkkAvpqkk元例3.3答案（三）n年期生存保险被保险人生存至n年期满时,保险人在第n年末支付保险金.只有一个因素不确定:是否给付保险金,而保险金给付的时间和数量可以预先确定.保险金给付相当于一个二项分布:即在n年末只有只有两种可能,要么给付1,要么不给付,且给付的概率为.xnp给付函数:给付现值随机变量趸缴净保费10,0,1,,11,,1,KKnbKnn110,0,1,,1,,1,KKnKnZbvvKnn1|:|1|0()11nmxkxxnknnnnnkxkxnxkAEEZvqvqvqvp（四）两全保险两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合给付函数给付现值随机变量趸缴净保费111,0,1,,1,,1,KKKnvKnZbvvKnn11,0,1,2,KbK1111|:|:|:|0nknkxnxxnxnxnkAAAvqvp例3.4某人在40岁时投保了3年期10000元两全寿险，保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%，以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年，男女混合表），计算趸缴净保费。例3.4答案1140:3|40:3|40:3|233401|402|403404040414041422340414231000010000100001000010000111100001(1)(1)110000(1)49.288591.348640.62()AAAvqvqvqvpqpqppqiiipppi元（五）延期m年终身寿险保险金在被保险人投保m年后，发生保险责任范围内的死亡给付保险金。给付函数给付现值随机变量趸缴净保费10,0,1,2,11,1KKmbKmm，，+11||:|()kmxkxxxmkmAEZvqAA10,0,1,2,1,1KKmZvKmm，，+（六）延期m年的n年定期寿险保险金在被保险人投保m年后的n年内，发生保险责任范围内的死亡给付保险金。给付函数给付现值随机变量趸缴净保费10,0,1,2,11,1,1KKmbKmmmn，，+10,0,1,2,1,1,1KKmZvKmmmn，，+11111||:|:|:|()mnkmkxxnxmnxmkmAEZvqAA几个关系式|mmxmxxmmxxmAvpAEA|:|:|:|mmmxmxxnxmnxmnAvpAEA111|:|:|:|mmmxmxxnxmnxmnAvpAEA（七）递增型寿险终身寿险n年定期11,0,1,2,kbkk,2,1,0,)1(1KvKZKxxxkkxxkkxAAAqpvkAI|2|101)1()(:|:1|:1|111:|01111|1|()(1)xnxnxnkkxxkxnknIAkvpqAAA（八）递减型寿险给付函数给付现值随机变量趸缴净保费111111:|:1|:2|:|0()()nkkxxkxnxxxnkDAnkvpqAAA111,,01,,2,1,0,kkkvvnkknb其他其他,01,,2,1,0,)(111nKvKnvbZKKK一般变额寿险给付现值随机变量趸缴净保费110,1,2,KKZbvK11|0()kkkxkEZbvq例3.5对一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示：假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。kbk+1qk+103000000.0213500000.0424000000.06例3.5答案231|2|112233000003500004000003000003500004000001(1)(1)36829()xxxxxxxxxvqvqvqqpqppqiii元死亡年末给付趸缴净保费公式归纳递减n年定期寿险递增终身寿险n年期两全保险延期m年的终身寿险延期m年的n年定期寿险终身寿险11:::xxnxnnAAA1:xxmxmAAA111:::mxnxmnxmAAA111:10()kxkxxkjxjkjIAkvpqA1111::10()(1)nnkkxxkxnxnjkjDAnkvpqA11|:|0kxkxxknxxnkAvpqAA基本换算函数在给定预定利率下，基本换算函数按不同年龄排列，编制成换算函数表。MMMMRCCCCMdvCNNNNSDDDDNlvDxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx212112121,,,)(,为极限年龄用换算函数表示常见险种的趸缴净保费1:xxnxnxMMADxxxDMA1:xnxnxDAD:xxnxnxnxMMDAD1:xmxmnmxnxMMAD:xmxmnxmnmxnxMMDAD1:()xxnxnxnxRRnMIAD111:()()xxxnxnxnMRRDADxmxxmDMA|xxxDRIA)(例3.6某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年末赔付。如果在40岁至65岁之间死亡，保险公司赔付50000元；在65岁到75岁之间死亡，受益人可领取100000元的保险金；在75岁后死亡，保险金为30000元。利用换算函数写出这一保单精算现值的表达式。例3.6答案（1）这份保单可以分解为下列保单的组合50000元的25年定期寿险100000元延期25年的10年定期寿险30000元延期35年的终身寿险的组合这份保单的精算现值的表达式为：1125|35|4040:25|40:10|40656575754040404065754050000100000300005000010000030000500005000070000AAAMMMMMDDDMMMD例3.6答案（2）或者，将这份保单分解成下列保单的组合30000元的终身寿险20000元的35年定期寿险50000元延期25年的10年定期寿险的组合练习现年36岁的人，购买了一张终身寿险保单。该保单规定：被保险人在10年内死亡，则给付数额为15000元；10年以后死亡，则给付数额为20000元。设死亡