导数及应用

1一、复习1.瞬时速度一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋t）这段时间内的平均速度为ttsttsts)()(.如果t无限趋近于0时，ts无限趋近于某个常数a，就说当t趋向于0时，ts的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题2：P（1,1）是曲线2xy上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析：设点Q的横坐标为1＋x，则点Q的纵坐标为（1＋x）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(xxxy，所以，割线PQ的斜率xxxxxykPQ2)(22.由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，x变得越来越小，PQk越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即x无限趋近于0时，PQk无限趋近于2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：12xy.一般地，已知函数)(xfy的图象是曲线C，P（00,yx），Q（yyxx00,）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即x趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率xykPQ无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当x趋向于0时，割线PQ的斜率xykPQ的极限为k.小结瞬时速度是平均速度ts当t趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，2切线的斜率是割线斜率xy当x趋近于0时的极限；边际成本是平均成本qC当q趋近于0时的极限.二、练习：1.某物体的运动方程为25)(tts（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度.2.判断曲线22xy在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为2th，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.4.判断曲线221xy在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.三、导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxfxxfxfxx我们称它为函数()yfx在0xx出的导数，记作'0()fx或0'|xxy，即0000()()()limxfxxfxfxx3注：1.函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。3.xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（)(,00xfx）及点)(,(00xxfxx）的割线斜率。4.导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率。因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为))(()(00/0xxxfxfy。5.导数是一个局部概念，它只与函数)(xfy在0x及其附近的函数值有关，与x无关。6.在定义式中，设xxx0，则0xxx，当x趋近于0时，x趋近于0x，因此，导数的定义式可写成00000/)()(lim)()(lim)(0xxxfxfxxfxxfxfxxox。7.若极限xxfxxfx)()(lim000不存在，则称函数)(xfy在点0x处不可导。8.若)(xf在0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线存在。反之不然，若曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线，函数)(xfy在0x不一定可导，并且，若函数)(xfy在0x不可导，曲线在点（)(,00xfx）也可能有切线。如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y，即)(/xf＝/y＝xxfxxfxyxx)()(limlim00函数)(xfy在0x处的导数0/xxy就是函数)(xfy在开区间),(ba)),((bax上导数)(/xf在0x处的函数值，即0/xxy＝)(0/xf。所以函数)(xfy在0x处的导数也记作4)(0/xf。注：1.如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(xfy在点0x处的导数就是导函数)(/xf在点0x的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的0x换成x就可，即)(/xf＝xxfxxfx)()(lim04.由导数的定义可知，求函数)(xfy的导数的一般方法是：（1）求函数的改变量)()(xfxxfy。（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(。（3）取极限，得导数/y＝xyx0lim。例1.求122xy在x＝－3处的导数。例2.已知函数xxy2（1）求/y。（2）求函数xxy2在x＝2处的导数。练习1.求下列函数的导数：（1）43xy；（2）xy215(3)xxy1232(3)35xy2.求函数12xy在－1,0，1处导数。3.求下列函数在指定点处的导数：（1）2,02xxy；（2）0,3102xxy；（3）1,)2(02xxy（4）1,02xxxy.4.求下列函数的导数：（1）;14xy（2）210xy；（3）;323xxy（4）722xy。5.求函数xxy22在－2,0，2处的导数。6四、导数的计算1、基本初等函数的导数公式2、导数运算法则3、复合函数的导数例1.已知函数2)()(baxxf(a,b为常数)，求)(/xf.例2.求下列函数的导数（1）23212xxy（2）15314123xxxy（3）)4(23xxy（4）)23()12(2xxy（5）2)2ln(xy（6）32xey（7）)32sin(xy7练习1.若)(lim0xfx存在，则/0)](lim[xfx＝＿＿＿＿＿2.若2)(xxf，则1)1()(lim1xfxfx＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3.求下列函数的导数：（1）14020224xxxy（2）432615423xxxxy（3）)3)(12(23xxxy（4）32)1()2(xxy4.若曲线1232xy的切线垂直于直线0362yx，试求这条切线的方程.5.在抛物线22xxy上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x轴平行（2）平行于第一象限角的平分线.（3）与x轴相交成45°角6.已知曲线22xxy上有两点A（2,0），B（1,1），求：（1）割线AB的斜率ABk；（2）过点A的切线的斜率ATk；（3）点A处的切线的方程.7.在抛物线2xy上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.8)(4xf)(1xfoaX1X2X3X4baxy8.（选做）证明：过曲线2axy上的任何一点（00,yx）（00x）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：2/1)1(xx）五、导数的应用1.设函数)(xfy在某个区间内有导数，如果在这个区间内0)('xf，则)(xfy在这个区间内的单调递增；如果在这个区间内0)('xf，则)(xfy在这个区间内的单调递减.2.设函数)(xfy在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的值都大（小），则称)(0xf是函数)(xfy的一个极大（小）值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf)(1xf。（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有90)(xf。但反过来不一定。如函数3xy，在0x处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。3.如果)(xfy在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：（1）求导数；（2）求方程0)('xf的根（可能极值点）；（3）如果在根的左侧附近为0)('xf，右侧附近为0)('xf，则函数)(xfy在这个根处取得极＿值；如果在根的左侧附近为0)('xf，右侧附近为0)('xf，则函数)(xfy在这个根处取得极＿值.4.设)(xfy是定义在[a，b]上的函数，)(xfy在(a，b)内有导数，可以这样求最值：（1）求出函数在(a，b)内的可能极值点（即方程0)(/xf在(a，b)内的根nxxx,,,21）；（2）比较函数值)(af，)(bf与)(,),(),(21nxfxfxf，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例1.确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.例2.求函数4931)(3xxxf的极值.例3.设函数xbxaxxf232131)(在1x＝1与2x＝2处取得极值，试确定a和b的值，并问此时函数在1x与2x处是取极大值还是极小值？例4.求函数593)(3xxxf在[－2,2]上的最大值和最小值.10例5.求内接于抛物线21xy与x轴所围图形内的最大矩形的面积.练习1.若函数)(xf在区间[a，b]内恒有0)(/xf，则此函数在[a，b]上的最小值是＿＿＿＿2.曲线1213141234xxxxy的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3.设函数aaxaxaxxf23)()(在x＝1处取得极大值－2，则a＝＿＿＿＿.4.求下列函数的单调区间：（1）1123223xxxy（2）)2()1(2xxy5.求下列函数的极值：（1）642xxy，（2）59323xxxy，[－4,4]6.求下列函数的最值：（1）642xxy，[－3,10]（2）233xxy，[－1,4]7.一个企业生产某种产品，每批生产q单位时的总成本为qqC3)(（单位：百元），可得的总收入为26)(qqqR（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使11利润最大？最大利润是多少？8.在曲线)0,0(12yxxy上找一点（00,yx），过此点作一切线，与x轴、y轴构成一个三角形，问：0x为何值时，此三角形面积最小？9.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为73108102.2)(qqC，通过市场调查，可以预计这种彩电的年需求量为pq50101.35，其中p（单位：元）是彩电售价，q（单位：台）