小升初模块计数综合

共6页第1页计数综合一、加法原理完成一件事，如果有n类办法：在第一类办法中有a1种不同的做法，第二类方法中有a2种的做法……第n类办法中有an种不同的做法，那么完成这件事有N=a1+a2+…+an种不同的方法．二、乘法原理做一件事，如果需要分成n个步骤，做第一步有a1种不同的方法，做第二步有a2种不同的方法……做第n步有an种不同的方法，那么完成这件事共有：N=a1×a2×…×an种不同的方法．三、排列一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnP．根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(1n)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n)种方法；……步骤m：从剩下的[(1)]nm个元素中任取一个元素排在第m个位置，有11nmnm（）(种)方法；由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是121nnnnm（）（）（），即12.1mnPnnnnm（）（）（），这里，mn，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘。四、组合一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数．记作mnC。一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数nmP可分成以下两步：第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有mnC种方法；第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有mmP种排法．根据乘法原理，得到mmmnnmPCP．因此，组合数12)112321mmnnmmPnnnnmCPmmm（）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．五、几何计数：数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每共6页第2页条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．【讲练结合】（一）排列组合例1：用五张卡片1,2,4,6,8能组成多少个不同的三位数？【巩固】用五张卡片0,2,4,6,8能组成多少个不同的三位数？例2：广州到上海的某次列车，除起点和终点外，还要停靠4个站，应准备多少种不同的车票？例3：用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【巩固】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？例4：两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？共6页第3页例5：五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。（二）排列组合应用题的解题策略1、可重复的排列求幂法：（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？2、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。（1）,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有多少种？（2）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）3、相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（1）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（2）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（3）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是4、元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。共6页第4页（1）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.36种B.12种C.18种D.48种（2）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？（3）有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？（三）加法原理：例1、如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？北北京北北京欢京北欢迎欢你113112721211211【解析】沿着“北京欢迎你”的顺序沿水平或竖直方向走，北以后的每一个字都只能选择上面的或左右两边的字，按加法原理，用标号法可得右上图．所以一共有11种走法。【巩固】如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法．我们学习好们学习好玩学习好玩的习好玩的数好玩的数学例2、一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？例3、如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?351511113451014610151512013570321共6页第5页DCBA（四）乘法原理例1、右图中共有16个方格，要把A，B，C，D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？【解析】由于四个棋子要一个一个地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法．由乘法原理，共有16941576种不同的放法．例2、10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？（五）几何计数例1、在图中(单位：厘米)：一共有几个长方形?374218125【解析】①一共有(4321)(4321)100(个)长方形；②所求的和是51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)1448612384(平方厘米)．【巩固】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．共6页第6页例2、图中含有“※”的长方形总共有________个．※※