微积分月考试卷

第1页共13页2014-2015学年第二学期《微积分B》第一次月考试卷学院_____________专业___________________班级____________学号_______________姓名_____________题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、选择题（每小题2分，满分10分）1．函数fxyxyxyxyxy(,)(,)(,)(,)(,)2000002222在（0，0）点(A)连续(B)有极限但不连续(C)极限不存在(D)无定义答（C）2．函数zfxy(,)在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的：(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。答（A）3．设uyxarctan，则2222uxuy(A)4222xyxy()(B)4222xyxy()(C)0(D)2222xyxy()第2页共13页答（C）4．曲线xyzxy22225在点(,,)123处的切线方程为（A）xyz122138（B）xyz122138（C）xyz321158（D）xyz122138答：（C）5．zxyx(,)000和zxyy(,)000是函数zzxy(,)在点(,)xy00处取得极大值或极小值的（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要条件也非充分条件答：（D）二、填空题（每小题2分，满分10分）1．设uxyzxyz(,,)，则)3,2,1(du=38316182ddlndxyz2．曲面arctanyxz14在点(,,)210处的切平面方程是yz213．若函数zxyxyaxbyc22322在点(,)23处取得极小值－3，则常数abc,,之积abc30。4．函数fxyzz(,,)2在421222xyz条件下的极大值是1.5．函数zxy()12在点（0，1）沿a01,方向的方向导数是0。三、（10分）第3页共13页设zfxu(,)具有连续的二阶偏导数，而uxy，求22zx。zfyfxxu（4分）zfyfyfxxxxxuuu22（10分）四、（10分）函数zzxy(,)由方程xyzexyz所确定，求zxzy,。yzxxzyxyzexyzxyzddd(ddd)xyezeyzxexzyxyzxyzxyzddd(6分)zxeyzxyexyzxyz(8分)zyexzxyexyzxyz(10分)五、（10分）函数zzxy(,)由方程efxyyzz(,)所确定，其中f具有连续一阶偏导数，求dz。ezxyfyzfzd(dd)(dd)12(8分)dd()dzfxffyefz1122(10分)六、（10分）第4页共13页设ufr()，其中rxy22，具有二阶连续导数，且满足方程uuxuy22220又当r1时，ff(),()1011，求fr()。22322232()1()()()1()()()xxxyyxufrrxxufrfrfrrrryyufrfrfrrrr由u0，得rfrfr()()0（7分）rfrrfrC()()01由f()11，得C11frrfrrC(),()ln12，由f()10，得C20frxyr()lnln22（10分）七、（10分）第5页共13页研究函数zxyxyxyxyxy(,)2424242000在点（0，0）处的全微分是否存在？zxfxfxx(,)lim(,)(,)0000000zyfyfyy(,)lim(,)(,)0000000（3分）zzxxzyyxyxy(,)(,)dd()()()0000242（5分）lim()()()()()xyxyxyxy0024222取xy，上式=lim()()()xxxxx03422120故函数zxy(,)在点（0，0）处不可微。函数在（0，0）点全微分不存在。（10分）八、（10分）函数uzxzxy4223在点（1，1，1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。ulzxyzx()coscos()cos(,,)322433111coscoscos2(4分)设gl1210,,cos,cos,cos则ulglg0cos，其中为g与l0的夹角。所以当cos1，即l0与g同向时，ul=g6取最大值。(10分)九、（10分）第6页共13页在椭圆抛物面zxy222上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线2030xyyz，并写出曲面在该点处的法线方程。曲面上点(,,)xyz处的切平面法向量nxy241,,3分n平行于直线的方向向量S362,,216432yx代入曲面方程，得xyz34342716,,点34342716,,8分法线方程xyz3433462716210分十、（10分）第7页共13页求函数uxyzlnlnln23在条件xyzRxyz22226000,,,下的极大值，从而证明对任意正数abc,,,成立abcabc2361432()。其中R0。令LxyzxyzRlnlnln23622222分由222212022032060xyzLxxLyyFzzLxyzR，得驻点RRR,,235分且uRRRR,,ln23636由于当点(,,)xyz沿球面xyzR22226位于第一卦限内的部分趋于边界时，函数u趋于，故最大值在内部取得，因此函数u在条件下的极大值为uRRRR,,ln236368分由lnlnlnlnxyzR23636得xyzRxyzxyz2362223222363636336xyzxyz23222261432取axbycz222则得abcabc236143210分第8页共13页2014-2015学年第二学期《微积分B》第二次月考试卷学院_____________专业___________________班级____________学号_______________姓名_____________题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、选择题（每小题2分，满分10分）1.设f(x,y)为连续函数，则积分可交换积分次序为答(C)2.设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f(x,y,z)在Ω上连续，则等于(A)(B)(C)(D)第9页共13页答(C)3．设L为下半圆周.将曲线积分化为定积分的正确结果是答(D)4.设∑为曲面z=2－(x2+y2)在xoy平面上方的部分，则答(D)5．设∑为球面x2+y2+z2=R2的下半球面下侧，则答(B)二、填空题（每小题2分，满分10分）1．向量场A={xsinz,ysinx,zsiny}在点处的散度divA=__2______.2.答：0。3.设f(x,y)在具有连续的二阶偏导数，L是椭圆周的顺时针方向，则的值等于____6____________.第10页共13页4．设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f(xy)]2所围立体的体积可用二重积分表示为_[f(xy)]2dxdy.__.5．设Ω为空间有界闭区域，其上各点的体密度为该点到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。则Ω关于直线的转动惯量的三重积分公式为I=.三、（10分）计算二重积分四、（10分）求双曲抛物面z=x2－y2包含在两椭圆抛物面z=3x2+y2－2和z=3x2+y2－4之间的那部分曲面块∑的面积S。∑的方程为z=x2y2,∑在xoy面上的投影域为D：1≤x2+y2≤2。面积元素为dxdyyxdxdyyxdS2222441)2()2(1DdxdyyxdSS)(4122......5)5527(61)5527(12124121220drrrd......10第11页共13页五、（10分）设Ω是由以及z≤x2+y2+z2≤1所确定的闭区域，试计算I=xyzv222d.六、（10分）计算其中∑是上半球面的上侧，R为正数。补上一平面块∑1：z=0,x2+y2≤R2,取下侧，则有∑和∑1围成半球体Ω，用高斯公式七、（10分）计算2(1+x)dydz,其中∑是由曲线y=(0≤x≤1)绕x轴旋转一周所得的曲面的后侧。∑的方程为x=y2+z2.∑在yoz面上的投影域为D：y2+z2≤1.3第12页共13页Dzyzyzyxdd)1(2dd)1(222510220d)1(d2rrr3432210八、（10分）试确定的值，使得的值与路径无关，其中C为与X轴不相交(或不相接触)；并计算)(22yxyxP，)(2222yxyxQ)](2[)(2221222yxyyxyxyP)](22[)(2221222yxxyxyxxQ由xQyP，推出)(22)(2222222yxxyxy，即21即当21时，曲线积分与路径无关。601221212222012)2,0()1,1(21222221221d)(d1d)(d)(xyyoyoxxxyyxyxxyxyxI2110九、（10分）求圆柱界于平面Z=0与锥面之间的侧面积，其中a0,h0.第13页共13页十、（10分）设函数Q(x,y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，且对任意t恒有，求函数Q(x,y).