必修2测试题1

模块检测试题一一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．棱长都是1的三棱锥的表面积为()A.3B．23C．33D．43解析S＝4×12×1×32＝3.答案A2．直线x＋3y－1＝0的斜率为()A.33B.3C．－33D．－3解析直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的斜率k＝－AB.∴直线x＋3y－1＝0的斜率为－33.答案C3．已知直线a、b和平面α、β，且b⊥α，那么()A．b⊥a，则a∥αB．b不在β内，则α∩β＝∅C．a∥α，则b⊥aD．α⊥β，则b∥β解析A选项中a可能在α内，B选项中α与β可能相交，D选项中b可能在β内，故A、B、D均错误．答案C4．以A(1,3)和B(－5,1)为端点的线段AB的中垂线方程是()A．3x－y＋8＝0B．3x＋y＋4＝0C．2x－y－6＝0D．3x＋y－8＝0解析AB中点(－2,2)，AB斜率为3－11＋5＝13，∴AB的中垂线方程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0.答案B5．正四棱锥P－ABCD的高为3，侧棱长为7，则它的斜高为()A．2B．4C.5D．22解析如图所示，PO＝3，PA＝PB＝PC＝PD＝7.解析图在△PAO中，AO＝PA2－PO2＝7－3＝2.∴AC＝4，∴该正棱锥底面边长为22.即AB＝BC＝CD＝DA＝22.取BC中点E，连接PE，则PE为斜高，在Rt△POE中，PE＝PO2＋OE2＝32＋22＝5.答案C6．如图，侧棱长为2a的正三棱柱的左视图的面积为3a2，则该正三棱柱的侧面积为()A．3a2B．4a2C．6a2D．8a2解析∵设正三棱柱的底面边长为x，它的左视图是一个边长为32x，高为2a的矩形，由于左视图的面积为3a2，∴x＝a，S侧＝3a×2a＝6a2，∴该三棱柱的侧面积为6a2.答案C7．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A.26B.23C.33D.23解析由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个同底同高同棱长的正四棱锥)，所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为22，故正八面体的体积为V＝2V正四棱锥＝2×13×12×22＝23.答案B8．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得出这个几何体的体积是()A．πB.43πC.53πD．2π解析该几何体由上面的半球和下面的圆柱组成，∴V＝12×43×π×13＋π×12×1＝53π.答案C9．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()解析直线y＝ax过原点，直线y＝x＋a单调递增且它的纵截距和直线y＝ax的斜率符号相同．答案C10．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a为()A．－32B．－6C．－3D.23解析a3＝2－1≠2－2，∴a＝－6.答案B11．x，y∈R，A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)xa－yb＝1，a＞0，b＞0，当A∩B只有1个元素时，a，b满足的关系式为()A.1a＋1b＝1B．a2＋b2＝1C.1a2＋1b2＝1D．a＋b＝ab解析直线xa－yb＝1与圆x2＋y2＝1相切，∴11a2＋1b2＝1，∴1a2＋1b2＝1.答案C12．过点P(2,1)且被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得弦长最长的直线l的方程为()A．3x－y－5＝0B．3x＋y－7＝0C．x－3y＋5＝0D．x＋3y－5＝0解析由题意可知，直线l过圆心(1，－2)，∴直线l的方程为y＋21＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为________．答案y＝－2x14．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________．解析圆心C在直线y＝－3上，∴C(2，－3)．∴r＝|AC|＝22＋－3＋42＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案(x－2)2＋(y＋3)2＝515．已知球面上有A、B、C三点，如果AB＝AC＝BC＝23，球心到面ABC的距离为1，那么球的体积________．解析如图，由AB＝23，得AO1＝2，而OO1＝1，则OA＝22＋12＝5，∴球的体积为V＝43π×(5)3＝205π3.答案205π316.正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为336a，则正三棱台的侧面积为________．解析正三棱台的斜高h＝336a2＋[362a－a]2＝a.∴S侧＝3×[12(a＋2a)×a]＝92a2.答案92a2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解析(1)l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0，当x＝0时，y＝a－2，当y＝0时，x＝a－2a＋1，由题意可知a－2＝a－2a＋1，∴a2－2a＝0，∴a＝0，或a＝2.∴l的方程为x＋y＋2＝0，或3x＋y＝0.(2)∵l不经过第二象限，∴－a＋1≥0，－2－a≤0，∴a≤－1.18．(12分)已知点P(2,0)及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；(2)设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|＝4，求以线段AB为直径的圆的方程．解析(1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y－0＝k(x－2)．又圆C的圆心为(3，－2)，r＝3，由|3k－2k＋2|k2＋1＝1⇒k＝－34，∴直线l的方程y＝－34(x－2)，即3x＋4y－6＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，满足圆心到直线l的距离为1.∴直线l的方程为x＝2，或3x＋4y－6＝0.(2)当|AB|＝4，圆心C到直线l的距离为5，∴|3k－2k＋2|k2＋1＝5，k＝12，∵直线PC的斜率k′＝－2－03－2＝－2，∴k·k′＝－1，∴直线PC与直线l垂直，∴P为AB中点，∴以AB为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4.19．(12分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时？S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解析(1)设圆柱的高为h，由题意可知，4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2.S＝2πrh＋πr2＝πr(2.4－3r)＝3π[－(r－0.4)2＋0.16]，其中0r0.6.∴当半径r＝0.4m时，Smax＝0.48π≈1.51m2.(2)由r＝0.3及2r＋h＝1.2，得圆柱的高h＝0.6m.20．(12分)如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E是侧棱CC1的中点．(1)求证：AC⊥平面BDD1B1；(2)求证：AC∥平面B1DE.证明(1)∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD.∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.(2)设AC，BD交于点O，取B1D的中点F，连接OF，EF，则OF∥BB1，且OF＝12BB1.又E是侧棱CC1的中点，∴EC＝12CC1.又∵BB1∥CC1，BB1＝CC1，∴OF∥CC1，且OF＝12CC1.∴四边形OCEF为平行四边形，OC∥EF.又AC⊄平面B1DE，EF⊂平面B1DE，∴AC∥平面B1DE.21．(12分)已知直线l：x＋my－3＝0，圆Cx－2)2＋(y＋3)2＝9.(1)若直线l与圆相切，求m的值；(2)当m＝－2时，直线l与圆C交于点E、F，O为原点，求△EOF的面积．解析圆C的圆心C(2，－3)，r＝3.(1)|2－3m－3|1＋m2＝3，∴m＝43.(2)当m＝－2时，直线l：x－2y－3＝0，C到直线l的距离d＝|2＋6－3|12＋22＝5，∴|EF|＝29－5＝4.O到直线l的距离为h＝35.∴△EOF的面积为S＝12×4×35＝655.22．(12分)如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．(1)求证：AF⊥平面CBF；(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；(3)求三棱锥C—BEF的体积．解析(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF.∵AF⊂平面ABEF，∴CB⊥AF.又AF⊥BF，且BF∩BC＝B，BF、BC⊂平面CBF，∴AF⊥平面CBF.(2)设DF的中点为N，则MN綊12CD，又AO綊12CD，则MN綊AO，四边形MNAO为平行四边形，∴OM∥AN.又AN⊂平面DAF，OM⊄平面ADF，∴OM∥平面ADF.(3)过点E作EH⊥AB于H，则∠EBH＝60°，∴EH＝32，EF＝AB－2HB＝1，故S△BEF＝12×1×32＝34，VC－BEF＝13×S△BEF×BC＝312.