必修4《三角函数的应用》(2课时)教案

必修41.3.4三角函数的应用共8页第1页x33563yO泰州市第三高级中学高一数学教案授课教师授课时间第周第节课题三角函数的应用授课课时共2课时第1课时课型新授课教学目标1.会根据函数图象写出解析式；2．能根据已知条件写出sin()yAx中的待定系数,,A；3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；4.渗透数形结合的思想．教学重点待定系数法求三角函数解析式教学难点根据已知条件写出sin()yAx中的待定系数,,A教法讲练结合教学过程（需体现智慧课堂教学的基本模式，体现清晰的教学思路，重难点突破的教学设计与学法指导，学生活动的设计等）二次备课一、开启智慧之门（情境创设、目标展示、新课导入、预习作业检查等）【回顾复习】1.由函数sinyx的图象到sin()yAx的图象的变换方法．2.如何用五点法作)sin(xAy的图象？3.,,A对函数)sin(xAy图象的影响作用．二、探究智慧之源（活动设计、分组讨论话题、思维展示、问题链（变式）等）例1已知函数sin()yAx（0A，0）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式．解由图知，函数最大值为3，最小值为3，又∵0A，∴3A，由图知52632T,∴2T，∴2，又∵157()23612，∴图象上最高点为7(,3)12，∴733sin(2)12，即7sin()16，可取23，所以，函数的一个解析式为23sin(2)3yx．必修41.3.4三角函数的应用共8页第2页例2已知函数cos()yAx（0A，0，0）的最小值是5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点5(0,)2，求这个函数的解析式．解由题意：5A，24T，∴22T，∴4，∴5cos(4)yx，又∵图象经过点5(0,)2，∴55cos2，即1cos2，又∵0，∴23，所以，函数的解析式为25cos(4)3yx．例3函数)(xf的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2个单位所得的曲线是xysin21的图象，试求)(xfy的解析式．解将xysin21的图象向右平移2个单位得：)2sin(21xy,即xycos21的图象再将横坐标压缩到原来的21得：xy2cos21,∴xxfy2cos21)(．三、生成智慧之果（当堂训练、总结、归纳等）【课堂练习】1.已知函数sin(Ayx)，在同一周期内，当x＝9π时函数取得最大值2，当x＝49π时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为_________．2．已知函数sin(Ayx)（0,0,02πA）的图象一个最高点为A（2，3），由点A到相邻最低点的图象交x轴于(6,0)，求此函数的解析式_________必修41.3.4三角函数的应用共8页第3页3．函数)(xf向左平移2个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍所得的曲线是xysin21的图象，试求)(xfy的解析式_________．【课堂小结】1．会根据函数图象写出解析式．2．能根据已知条件写出sin()yAx中的待定系数,,A．主要是找图象的特征，求就需要周期，最高点，最低点要注意．3．图象的平移变换，所有的平移都是针对x而言．四、点燃智慧之炬（研究性学习的小课题、知识的自主串联、直击高考、自主编题等）思考：例1中求φ时如果代入的点为(3π,0)，会出现怎样的情况？如何确定φ的值？课堂作业教材第51页第16题课后作业板书设计教后反思必修41.3.4三角函数的应用共8页第4页泰州市第三高级中学高一数学教案授课教师授课时间第周第节课题三角函数的应用授课课时共2课时第1课时课型新授课教学目标1.能正确分析收集到的数据，选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题．2.体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力,培养学生数学应用意识．教学重点对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，用函数思想解决具有周期变化的实际问题教学难点1.分析、整理、利用信息，从实际问题中抽象出三角函数模型．2．由图象求解析式时的确定．教法教学过程（需体现智慧课堂教学的基本模式，体现清晰的教学思路，重难点突破的教学设计与学法指导，学生活动的设计等）二次备课一、开启智慧之门（情境创设、目标展示、新课导入、预习作业检查等）【复习提问】1.函数1sin2yx图像上每一点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π2个单位，求所得函数图象的解析式.2．函数sin(),(0,0,||)2yAxA的最小值是－2，其图象最高点与最低点横坐标差是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式.3.讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？如何确定初相？二、探究智慧之源（活动设计、分组讨论话题、思维展示、问题链（变式）等）必修41.3.4三角函数的应用共8页第5页【研探新知】例1(学生自学)一半径为3cm的水轮如图1-3-22所示，水轮圆心O距离水面2cm，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中0P点）开始计算时间．（1）将点P距离水面的高度()cmz表示为时间)(st的函数；（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？（例1是一个有关圆周运动的问题，是现实生活中的周期问题，可以运用三角函数模型来解决（具体地可以借助图形计算器或计算机来画图求解）．由此可见，三角函数是描述周期现象的重要数学模型．教师进行适当的评析.并回答下列问题：根据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求A，和初相位？）例2海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.时间0.003.006.009.0012.0015.0018.0021.0024.00水深5.07.55.02.55.07.55.02.55.0（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？【问题1】1.请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？应该选择怎样的数学模型反映该实际问题？小组合作发现，代表发言，可能结果：（1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米．（2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少．（3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律．（4）学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律．必修41.3.4三角函数的应用共8页第6页（5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？2．根据正弦型函数bxAy)sin(，回答下列问题．（1）图表中的最大值与三角函数的哪个量有关？（2）函数的周期为多少？（3）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？3.学生活动，求解析式A＝7.5－2.52＝2.5，b＝5，T＝2πω＝12，ω＝π6，φ＝0∴y＝2.5sinπx6＋5为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程．教师应该点明：建模过程——选模、求模、验模、应用．【问题2】（师生一起分析）水深5.5米得出2.5sin55.56x，即2.06sinx，（讨论）解三角不等式2.06sinx的方法令2.06sinx学生活动：操作计算器计算3848.0,2014.06xx，结合电脑呈现图象．发现：在[0，24]范围内，方程2.06sinx的解一共有4个，从小到大依次记为：xA，xB，xC，xD，那么其他三个值如何求得呢？（留给学生思考）xB≈6－0.3848＝5.6152，xC≈12＋0.3848＝12.3848，xD≈12＋5.6152＝17.6152得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？（过渡语）刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的必修41.3.4三角函数的应用共8页第7页吃水深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？请看下面问题：【问题3】（学生讨论）安全即需要：实际水深≥安全水深，即：2.5sinπx6＋5≥5.5－0.3(x－2)讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并呈现）通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区．那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）求P点横坐标即解方程2.5sinπx6＋5＝5.5－0.3(x－2)（数形结合，根据函数图象求近似解）．从这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后再驶回来．这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？那该怎么来做呢？（可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度）三、生成智慧之果（当堂训练、总结、归纳等）【数学应用】1.如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s厘米和时间t秒的函数关系为π6sin(2π)6st.（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置___厘米.（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为___厘米.（3）单摆来回摆动10次所需的时间为___秒.2.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数bxAy)sin(．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．3.某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记为y＝)(tf，下面是某日水深数据：t（时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0OCT/ht/61014812102030必修41.3.4三角函数的应用共8页第8页经过长期观察，y=)(tf的曲线可以近似看成y＝Asint＋b的图象.（1）根据以上数据求出y＝)(tf的近似表达式；（2）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（从表中读到一些什么数据？→依次求各系数→应用模型解决问题）答案：3sin106ty（0≤t≤24）；13（小时））.【反思】1.如何根据bxAy)sin(图象求解析式中的待定参数,,,.Ab2.探索的各种求法（这是本题的关键！也是难点！）（用最大、最小值点代入不容易出现错误）【课堂小结】三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似