必修5教案2.2等差数列的概念(一)

§2.2第1课时等差数列的概念教学目标（1）能准确叙述等差数列的定义；（2）能用定义判断数列是否为等差数列；（3）会求等差数列的公差及通项公式。教学重点，难点等差数列的定义及等差数列的通项公式。教学过程一．问题情境1．情境：观察下列数列：：4，5，6，7，8，9，10，……；①3，0，3，6，……，②第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004③某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,④如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月，2个月，3个月，……12个月，所得的本利和依次为100001000016.5,1000016.52,1000016.512，⑤2．问题：上面这些数列有何共同特征？二．学生活动对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于0.1；对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于16.5；规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。三．建构数学1．等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaadn或1(1)nnaadn．思考：（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？（2）判断下列数列是否为等差数列：①1，1，1，1，1；②4，7，10，13，16；③3,2,1，1，2，3。①②是等差数列，③不是等差数列。（3）求出下列等差数列中的未知项：①3，a，5；②3，,bc，9（4）已知等差数列na：4，7，10，13，16，如何写出它的第100项100a？2．等差数列的通项公式：已知等差数列na的首项是1a，公差是d，求na．由等差数列的定义：21aad，32aad，43aad，……∴21aad，3212aadad，413aad，……所以，该等差数列的通项公式：1(1)naand．另解：∵na是等差数列，∴当2n时，有21aad，32aad，43aad……1nnaad，将上面1n个等式的两边分别相加，得：1(1)naand∴1(1)naand，当1n时，上面的等式也成立。说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。四．数学运用1．例题：例1．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数照算。（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴*18964(1)18924()nannnN（2）假设2008,na则200818924n，得29n假设2050na，205018924n无正整数解。答：所求的通项公式是*18924()nannN，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会。说明：由此例说明等差数列项的判断方法。例2．在等差数列na中，已知310a，928a，求12a．解：由题意可知：11210828adad，解得14a，3d，∴124(121)337a例3．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求。解：用na表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得1615,25aa，6n由通项公式得：61(61)aad，即25155d，∴2d，所以，217a，319a，421a，523a，．答：中间四个滑轮的直径为17cm，19cm，21cm，23cm。例4．已知数列的通项公式为napnq，其中p，q是常数，且0p，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。解：取数列na中的任意相邻两项1na与na（2n），1()[(1)]nnaapnqpnqp，∵p是一个与n无关的常数，故na是等差数列，且公差是p，所以，这个等差数列的首项是1apq，公差是p．例5．在1与7中间插入三个数a，b，c，使得这5个数成等差数列，求a，b，c．解：用na表示这5个数所成的等差数列，由已知得：57a，11a，∴71(51)d，2d，所以，1a，3b，5c．2．练习：课本36P1，2，3，4，5，39P1五．回顾小结：1．等差数列的定义：1(2)nnaadn；2．等差数列的通项公式及其推导方法；3．等差数列中项的判断方法。六．课外作业：39P2，3，4，5题补充：1．已知等差数列na满足3712aa，464aa，求数列na的通项公式；2．在等差数列na中，已知470a，21100a，（1）首项1a与公差d，并写出通项公式；（2）na中有多少项属于区间18,18？