必修四三角函数专题复习

三角函数解读高考：（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出,2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出xyxyxytan,cos,sin的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间)2,2(内的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式：xxxxxtancossin,1cossin22．⑤了解函数)sin(xAy的物理意义；能画出)sin(xAy的图象，了解参数,,A对函数图象变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0ZkkZkk或一些特殊角集合的表示：终边在x轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”=；“第一象限的角”=；“锐角”=；“小于o90的角”=；（5）由的终边所在的象限，通过来判断2，3所在的象限。练习：已知是第一象限角，那么2是（）A．第一象限角B第二象限角C第一或第二象限角D第一或第三象限角（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；已知角的弧度数的绝对值rl||，其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。（7）弧长公式：；角度与弧度的互化：；扇形面积公式：。练习：已知扇形的周长为6cm,面积为22cm，求扇形中心角的弧度数。二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点),(yxP，点P到原点的距离记为r，则sin；cos；tan；如：角的终边上一点)3,(aa，则sin2cos。变式：已知角的终边在直线y=﹣2x上，求cossin的值。给出下列函数值：（1）sin(﹣1000)（2）cos(﹣4)（3）tan2其中符号为负的是。（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(x，xsin，xtan，x的大小关系：。（3）特殊角的三角函数值：0643223sincostan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。1．已知sin=－53，∈(23，2)，则tan等于（）A.－34B.34C.－43D.432．已知∈(，2)，tan=21，则cossin=______________.3.已知tan2，求下列各式的值：（1）sincossincos；（2）2sinsin2cos2cos3.xyOaxyOaxyOayOa平方关系sin2+cos2=1，商数关系cossin=tan(3)cossin14．已知sincos51(0),，求下列各式的值：（1）sincos；（2）sin－cos；（3）tan.5.已知0,sincos=－16960,求sin－cos的值。（2）诱导公式：k2：，，；：，，；：，，；：，，；2：，，；2：，，；2：，，；诱导公式可用概括为：2K±,-,2±,±的三角函数奇变偶不变，符号看象限的三角函数作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。②求任意角的三角函数值。步骤：③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．步骤：①确定角所在的象限；②如函数值为正，先求出对应的锐角1；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角1；③根据角所在的象限，得出2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二象限；则它是1；如果在第三或第四象限，则它是1或12；④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。如mtan，则sin，cos；注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；(7,24,25)；(16,63,65)。任意负角的三角函数任意正角的三角函数0o~360o角的三角函数求值公式三、一公式一0o~90o角的三角函数公式二、四、五、六练习:1、若sin（125°－α）=1213,则sin（α＋55°）=．2、cosπ7＋cos2π7＋cos3π7＋cos4π7＋cos5π7＋cos6π7=．3、已知,1)sin(则)32sin()2sin(.4、已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（）A.21B.—21C.23D.—235、若,3cos)(cosxxf那么)30(sinf的值为（）A．0B．1C．－1D．236、)2cos()2sin(21等于（）A．sin2－cos2B．cos2－sin2C．±（sin2－cos2）D．sin2+cos27、已知75cos31，为第三象限角，求435sin255cos的值．四、三角函数图像和性质1．周期函数定义定义对于函数()fx，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，()()fxTfx都成立，那么就把函数()fx叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．请你判断下列函数的周期xysinxycos|cos|xy||cosxy|sin|xyy=tanxy=tan|x|y=|tanx|||sinxy例求函数f(x)=3sin)35(xk()0k的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大于1.注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．结论：如函数)()(kxfkxf对于Rx任意的，那么函数f(x)的周期T=2k;如函数)()(xkfkxf对于Rx任意的，那么函数f(x)的对称轴是kxkkxx2)()(2．图像（1）．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32--2oyx（2）．三角函数的单调区间：xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，xytan的递增区间是22kk，)(Zk，（3）．函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。（4）．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。（5）．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。（6）．对称轴与对称中心：sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0)kkZ；cosyx的对称轴为xk，对称中心为2(,0)k；对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。（7）．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；（8）．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。（9）．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。练习1：已知ω是正数，函数f(x)=2sinx在区间42，上是增函数，求ω的取值范围。2已知函数f(x)=sin（ωx+）(ω＞0,0π)是R上的偶函数,其图像关于点M（43，0）对称，且在区间20，上是单调函数，求和ω的值。同步练习：1.．已知是三角形的一个内角,且32cossin,则这个三角形()A．锐角三角形B．钝角三角形C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形2．)2cos()2sin(21等于（）A．sin2－cos2B．cos2－sin2C．±（sin2－cos2）D．sin2+cos23.．函数y=cos2x–3cosx+2的最小值是（）A．2B．0C．41D．64.已知、是第二象限的角，且coscos，则（）A.;B.sinsin；C.tantan；D.以上都不对5.函数)62sin(5xy图象的一条对称轴方程是