尺度函数与小波的构造

34第三章尺度函数与小波的构造§1框架在第一章中，我们将小波变换定义为RbRadxabxxfabaWf,,1,（3.1）若x满足Cdd21ˆˆ0202(3.2)那么我们可以从RLxf2的小波变换baWf,重构xf2001,2adadbabxabaWfCxf(3.3)如果我们将参数a和b离散化，令Zmaaam,1,00，相应的Znanbbm,0，那么上述变换和反变换函数abxaxab1将为002/0nbxaaxmmmn（3.4)也就是说，我们可以计算连续小波变换的离散值mnmRmmmfdxnbxaxfaanbaWf,,002/000(3.5)现在的问题是，离散化时我们是否丢失了某些关于信号的信息，或者说，我们是否可以从这些离散值重构信号。在多分辨率逼近中，我们讨论了一种最典型的情况，1,200ba且2,,Znmmn构成RL2的正交归一基。现在我们打算一般性地讨论这个问题。实际上，在多尺度边缘检测中，我们已放松了对正交性的要求。根据我们即将介绍的框架理论，如存在BA,0使RLxffBffAnmmn222,2,,(3.6)则我们说集2,;Znmmn为一个框架。这样我们可以构造一个数值稳定的算法，从小波系数2,,,Znmfmn重构xf。不难验证，我们在多分辨率逼近中引入的小波级数只不过是（3.6）式中A=B=1的特殊情况。35一、框架若存在BA,0使得Jll,满足HxffBffAJll,,222(3.7)则我们称Jll,构成希尔伯特空间的一个框架。其中A，B称为框架界。若A=B，则我们称之为紧框架。若A=B=1,且12l，那么框架就是正交归一基。这一结论很容易证明，令(3.7)式中kf，则有2422,,klJllklJllkk由于12k，14l，故上式中0,2klJllk。意味着0,lk，对于lk，即构成框架的矢量是两两正交的。由此可以看到，正交归一基确实只是框架的一种特殊情况。对于正交归一基，重构很简单Jlllfxf,(3.8)上式就是我们提到的广义傅里叶级数，但对于一般的框架而言，重构问题要复杂的多。二、对偶框架首先引入对称算子的定义：对任意的RLf2，若ffTffT,,21，则我们称T1和T2为RL2上的对称算子，且将不等式表示为21TT。可以看到，框架实际上是定义了一个从RL2到2l的映射，即将任意的RLf2映射称为一个平方可和的序列Jlfl,,。我们用TlRLT22:表示之，并称T为框架算子。对于任意一个平方可和序列JlJlCCl2,,也可映射为一个函数RLJlTCCTlJll22:,，我们称T为T的伴随算子。显然，TT是一个从RL2到RL2的算子。因为对任意的RLf2，我们有36JllllfJlfTTT,,,(3.9)由上式可得2,,,,JlllJelffffTfT从而根据对称算子的定义，我们可以将定义框架的不等式改写为BITTAII为单位算子。(3.10)上式说明，对称算子TT是有界的，故可定义其逆算子1TT，且逆算子满足IATTIB111(3.11)由逆算子1TT及不等式(3.11),我们就可以定义对偶框架：定义llTT1~，则Jll,~构成另一个框架，我们称其为Jll,的对偶框架。由(3.11)式可见，Jll,~确实构成一个框架，且其框架界为1B和1A。对于对偶框架，我们也可以相应地定义框架算子T~和它的伴随算子T~。框架算子T~定义为1~TTTT(3.12)而且，可以证明：1~~TTTTT，ITTTT~~(3.13)其中，TTTT~~是Jl2到T的值域的正交投影算子。为什么我们要引入对偶框架呢？由(3.13)式ITT~可得fTfT~，从而lJlllfJlfTTfTf~,,,~~**（3.14）上式告诉我们，如},{Jll构成一个堆积，那么任一)(2RLf都可由它的内积系数Jlfl,,充分描述。因为可以按(3.14)式由这些内积系数去重构f。由ITT~，可得lJllff~,(3.15)37(3.14)和(3.15)式还说明对偶关系是相互的.即{l,}Jl也是{l~，}Jl的对偶框架.三.重构由(3.14)我们看到,由内积系数{},,Jlfl重构的关键是找到l~，为此，我们定义,TTM1~~~MTTM（3.16）M是一个从)(2RL到)(2RL的算子。具体说来，由上式可得lJllM,（3.17）由（3.10）可得BIMAI（3.18）由l~的定义l~lM1（3.19）我们先来讨论一种比较简单的情况，既BA紧框架的情况。这时,~,11IAMMAIM,~1lAJlllBAfAf1,,1（3.20）如为1BA的紧框架，那么,~ll重构公式从形式上看完全类似于正交展开，即Jlllff,,.1BA（3.21）对一般情况，可将M写为)])(2([)(211MBAIBA，从而将l~写成如下级数形式0)2(2~klklMBAIBA（3.22）因为38ABABMBAIIBABA2或BAMI21/1/ABAB（3.23）（3.22）式所示的级数总是收敛的，且AB/越接近1，收敛越快，此时llBA2~从而JlllfBAf,2（3.24）§2.小波框架现在我们知道,如将连续（或积分）小波变换中的核函数abxaxab1离散化为002/0nbxaaxmmmn,要从连续小波变换的离散取值mnf,重构xf的充分必要条件是Znmxmn,,构成一个框架，即满足（3.6）式。关于小波框架，我们关心两个问题：1）对给定的小波函数，找出一个参数0a,0b的值域R,当Rba00,时，mn构成一个框架；2）对Rba00,，计算框架界A，B的估值。首先，我们介绍下述定理。定理：如Znmxmn,,对于RL2构成具有框架界A,B的一个框架，那么BabdAab0002002lnˆ2ln（3.25）与BabdAab0002002lnˆ2ln（3.26）这是通过指数伸缩与整数平移构成框架的必要条件。由上述定理不难看到，必须39是一个允许小波。Daubechies很详尽地研究了产生小波框架时，、0a、0b必须满足的条件，并估计了相应的框架界。有兴趣的读者可参阅有关文献。例如墨西哥帽函数，它是高斯函数2/2xe的二阶导数224/12)1(32xexx(3.27)前面的系数是为了使1。墨西哥帽是视觉分析上常用的小波。当20a，(3.22)式中k的上限为1时,对各种不同的0b值，其框架界常数如表3.1所示。§3.半正交小波我们比较感兴趣的是，在构成框架界的前提下，如何去计算其对偶框架。为此，我们引入伸缩算子mD和平移算子nT如下：)())((02/0xafaxfDmmm)())((0nbxfxfTn(3.28)显然，nmmnTD。从而mn的对偶mn~为nmmnTDTT1*)(~(3.29)容易验证，对于所有)(2RLfTfTDfTDTmm**(3.30)故1*)(TT与mD是可交换的，从而)(~)(~002/01*xaaTTTDmnmnmmn（3.31）b0ABB/A0.2513.09114.1831.0830.56.5467.0321.0830.754.3644.7281.0831.003.2233.5961.1161.252.0013.4541.7261.50.3254.22712.986表3.1墨西哥帽函数的框架界40如果TT*与nT也是可交换的,那么~)(~1*nmnmmnTDTTTD即我们可以象生成mn一样，由~通过伸缩和平移得到mn~,即mn~=mn~。但非常不幸的是,TT*与nT一般说来是不可交换的。故对偶框架的计算还是比较繁杂的.当然对于正交归一基,由(3.11)式可见,1*)(TT=I,从而mn~=mn，即正交归一基是自对偶的。本节我们要讨论半正交小波的对偶的计算问题。半正交小波的定义：设Zkjkxjjjk,),2(22/,如zmlkjljlmjk,,,,,0,(3.32)则称为半正交小波。为了研究半正交小波，我们有必要先了解正交小波的若干性质。一．正交归一基),()(2RLx如通过平移构成的函数族Zkkx),(满足,)(),(kllkZlk,(3.33)则我们称},{Zkkx是)(2RL的一个正交归一基。我们很容易证明正交归一的下述两个等价条件,)2(ˆ2kR（3.34）),()(ˆ212kdeikzk(3.35)二．Riesz基若1）、)(},,{2RLzkjspanjk（3.36）2）、存在正常数A，B，.0BA对所有的,}{2lCjk22,2kkjjkjkjkCBCCA（3.37）41则我们说},,{Zkjjk是RL2的Riesz基。RL2称为R函数。如Zkkx,是Riesz基。则下面两个条件是等价的。222kkkkCBkxCCA（3.38）KBA,)2(ˆ2R(3.39)三．半正交小波的对偶定理：令)(ˆ~kk22(ˆ)(ˆ（3.40）则)2(~2~,~,2/mxlllmkmjllmjk(3.41)由此定义知，lm的对偶,~lmlm即对偶框架可由~通过二进收缩和整数平移得到。由（3.15）式，对任意),(2RLf有mllmlmff,~,令,jkf则得lmmllmjkjk,~,从而得klillmjk~,将上式与(3.41)比较不难看到，lmlm~~，而且不难体会到，半正交小波不外乎就是将正交性扩展为框架函数和其对偶框架中的函数正交。上式还告诉我们如何将半正交小波“正交化”。令2/122ˆˆˆkk（3.42）42其中是半正交小波，而是由构造出来的另一半正交小波。由上述定理，的对偶应满足kk22ˆ~ˆ~ˆ~(3.43)由(3.42)12ˆ2ˆ2ˆ~222kkklkk将上述结果代入(3.43)得ˆˆ~，故~，是自对偶的，即为正交小波。实际上，由12~2kk也应看到确实是一个正交小波。对于半正交小波，我们可以将第一章(1.27)式的小波级数扩展为如下形式xfxfxfmnnmmnmnnmmn,,~,~,(3.44)