山东大学工科研究生数学物理方法class14第2节(非齐次振动方程和输运方程).

1第二节非齐次振动方程和输运方程我们仍然限定齐次的边界条件，本节包括两个主要内容，一是（一）傅立叶级数法在第一节中，我们求解两端固定的弦的齐次振动方程定解0|,0|0lxxuu求解。法，把非齐次方程的定解问题化为齐次方程的定解问题，然后再傅立叶级数法，直接求解非齐次方程的定解问题。二是冲量定理形式的级数，是由边界条件决定的：取决于初始条件的傅立叶正弦级数，采用正弦级数而不是一般问题，得到的解有傅立叶正弦级数的形式，且系数An和Bn2由此启发，为什么不把解本身直接展开成傅立叶级数？nnnxXtTtxu)()(),(这里傅立叶级数的基本函数族Xn(x)为该定解问题齐次方程在齐次边界条件下的本征函数。由于解是自变量x和t的函数，故u(x,t)的傅立叶级数系数不是例1求解定解问题)0(),(|),(|0|,0|sincos0002lxxuxuuutlxAuautttlxxxxxxtt出Tn(t)的常微分方程，求解。常数，而是时间t的函数，记做Tn(t),将u(x,t)代入泛定方程，分离3解这里级数展开的基本函数族应该是齐次泛定方程02xxttuau在边界条件)(|),(|00xuxutxtx下的本征函数即：...)2,1,0(cosnlxn由此我们把解展开成傅立叶余弦级数lxntTtxunncos)(),(0代入泛定方程tlxAlxnTlanTnnnsincoscos02222左边是傅立叶余弦级数，把右边也展开成傅立叶余弦级数，以比较系数，分离出Tn(t)的常微分方程：tATlaTsin12221)1(,02222nTlanTnn比较系数。事实上，右边已经是傅立叶余弦级数，只有一项n=14把u(x,t)的傅立叶余弦级数代入初始条件可得：0000cos)(cos)0(cos)(cos)0(nnnnnnnnxlnxxlnTxlnxxlnT其中，nn,分别是)(),(xx的傅立叶余弦级数的第n个傅立叶系数，上述两边都是傅立叶余弦级数，由于基本函数族lxncos的正交性，等式两边对应于同一基本函数的傅立叶系数必相等：lldlTdlT000000)(1)0()(1)0()0(cos)(2)0(cos)(2)0(00ndlnlTdlnlTlnnlnn关于Tn(t)的常微分方程在上述初始条件下的解为:ttT000)(5latallattlalatlaaAltTsincossinsin/1)(1122221)1,0(sincos)(nlatnanllatntTnnnT1(t)的第一项为非齐次常微分方程的特解，满足零值初始条件。T1(t)的后两项之和及Tn(t)分别为T1(t)和Tn(t)的齐次常微分方程的解，满足非零初始条件。可得最后所求的解为:lxlatnanllatntlxtlalatlaaAltxunnncossincos)(cossinsin/1),(1002222傅立叶级数法6傅立叶级数法关键在于分离出Tn(t)的常微分方程，不能lxncos正是相应的齐次方程，齐次边界条件下用分离变量法求得的对于齐次振动方程和齐次输运方程问题也可以用傅立叶级综上所述，对于振动问题和输运问题，不论齐次还是非齐次方程定解问题，傅立叶级数法结合分离变数法都可利用，而分离变数只能用于齐次方程定解问题。更容易求解。数法（结合分离变量）求解，此时常微分方程为齐次方程，本征函数，故可以分离出Tn(t)的常微分方程。含有x，这里级数展开的基本函数7（二）冲量定理法应用冲量定理法有个前提，即初始条件取零值，可以把非零)(|),(|0|,0|),(0002xuxuuutxfuautttlxxxxtt泛定方程和定解条件都是线性的，满足叠加原理),(),(),(111txutxutxu),(),,(111txutxu分别满足)(|),(|0|,0|00101101121xuxuuuuautttlxxxxtt0|,0|0|,0|),(0110111101111211tttlxxxxttuuuutxfuau两边的式子对应相加，就是原来的定解问题，就转化成求解U1方程是非齐次的，但初始条件化为零，即符合冲量定理要求。和U11,U1的初始条件为非零，方程是其次，分离变数求解，U11初始条件化成零值初始条件：8下面用冲量定理法来研究弦的非齐次振动方程定解问题：0|,0|0|,0|),(0002tttlxxxxttuuuutxfuau（1）冲量定理法的物理思想对于上述定解问题，作用在单位弦长上的外力),(),(txftxF从时刻零持续到时刻t，我们求解的是在力F（x，t）作用下，时刻t时，各处的位移u（x，t）我们可以把持续作用力看成许多瞬时力的作用之和，把持ttdtxftxfdtxFtxF00)(),(),()(),(),(续力引起的振动看成瞬时力引起的振动的叠加：9dtxF)(),(其中为作用在很短的时间区间),(d上，冲量为dxF),(的瞬时力该瞬时力引起的振动),()(txu则此定解问题为：0|,0|0|,0|)(),()(),(0)(0)()(0)()(2)(tttlxxxxttuuuudttxfdtxFuau瞬时力dtxF)(),(作用在时间区间),(d上，时刻零直到时刻0还没有起作用，弦仍然静止0|,0|0)(0)(tttuu到时刻该力开始作用，到d结束，这短时间内，弦来不及位移，故在时刻d0|)(dtu位移10又根据冲量定理，从时刻0d到单位弦的动量变化等于瞬时力的冲量，则有：dtxF)(),(dxfdxFuuttdtt),(),(||0)()(故速度dxfudtt),(|)(若该用时刻d作为初始时刻，考查瞬时力dtxF)(),(在时刻d以后引起的振动),()(txu此时瞬时力作用已过，弦不受外力，满足齐次方程，其定解问题为：)),(|,0|0|,0|0)()()(0)()(2)(dtxfuuuuuaudttdtlxxxxtt此定解问题与原来的定解问题等价。同时可以看出),()(txu必含有因子d记dtxvtxu);,(),()(则满足以下定解问题：110|,0|0|,0|),(02dttdtlxxxxttvvvvdtxfvavdtxfvvvvvavtttlxxxxtt),(|,0|0|,0|002由于时间d很短，将d记作关于此定解问题为齐次方程，可用前边的分离变数或者傅里叶级数法来求解。只是前边初始时刻为零，这里初始时刻为前面得到的解中，t应换成t原定解问题是线性的，适用叠加原理，外力是一系列瞬时力的叠加，则定解问题也是瞬时力引起的振动的叠加，则有：00)();,(),(),(tdtxvtxutxu冲量定理法此即非齐次振动方程定解问题的解！12把持续作用力),(txf看成一系列脉冲力dtxf)(),(改为求解脉冲力dtxf)(),(从时刻引起的振动dtxv);,(而它满足齐次振动方程的定解问题，解出v之后，对积分即得原定解问题的解！同时，量纲分析也可以侧面证明此法是正确的！边界条件（2）冲量定理法的数学验证即要验证通过积分得到的解u（x，t）是原非齐次振动方程定解问题的解。首先来验证边界条件：0|,0|0lxxvv故有：0||,0||0000tlxlxtxxdvudvu初始位移：0||000tttdvu13dttdttgdttdttgdttgdtgdtdtttt)()](;[)()](;[);();()()()()(应用此公式到tdtxvtxu0);,(),(可得：);,();,(),(0ttxvdtxvtxuttt又0);,(xv故可得tttdtxvtxu0);,(),(则0||0000dvutttt初始条件（1）对（1）应用求导公式);,();,(0ttxvdtxvutttttt而),();,(xfxvt14故),();,(0xfdtxvuttttt把它和u（x，t）代入非齐次泛定方程的左边则有：),(),(0),()(0022txftxfdtxfdvavuauttxxttxxtt即对于非齐次泛定方程来说满足定解条件。泛定方程至此，数学验证全部完成，冲量定理在数学上也成立，特别冲量定理法甚至，x＝0和x＝l的边界条件不同类，只要相对应即可！指出，这里边界条件也可以是第二类或第三类齐次边界条件15例2将例1中的初始条件改为零值，用冲量定理法求解，即,0|,0|0|,0|sincos0002tttlxxxxxxttuuuutlxAuau解：应用冲量定理法，先求解：,sincos|,0|0|,0|0002lxAvvvvvavtttlxxxxxxtt考虑到边界条件，把解展开为傅里叶余弦级数：0cos),();,(nnlxntTtxv代入泛定方程：0cos02222nnnlxnTlanT16由此可分离出Tn的常微分方程02222nnTlanT此方程的解为：))(()();(000tBAtT)0()(sin)()(cos)();(0nltanBltanAtTnn则解v的傅里叶余弦级数为：lxnltanBltanAtBAtxvnnncos)(sin)()(cos)())(()();,(100系数)(),(nnBA由初始条件确定，把上式代入初始条件：17xlxnAlxnlxnBBnnsincoscos)()(100cos)()(10nnlxnAA右边的xlxnAsincos也是傅里叶余弦级数，只有一个单项n＝1两边比较系数可得：)1(0)(,sin)(,0)(1nBalABAnn由此可得);,(txvlxltaalAtxvcos)(sinsin);,(则可得泛定方程的一般解为：18lxtlatlalaaAldltalxaAldtxvtxuttcossinsin/1)(sinsincos);,(),(222200在输运问题中，如泛定方程是非齐次的，也完全可以仿照冲量定理加以处理，如定解问题：0|0|,0|),(002tlxxxxxxtuuutxfuau单位长度上的热源强度为),(txfc且从时刻零一直延续到t现在求的是在热源强度的影响下，时刻t温度分布),(txfc19仿照冲量定理，这里将持续作用的热源看成许多瞬时热源dtxfc)(),(),(d提供的热量为dxfc),(他产生的温