84原型变换法

jLzsLeHjHjdeHjdeHjHjHdLjdzsLeHjH如图8-14所示即（只适用双线性变换）所需数字滤波器三、模拟低通原型即所需数字滤波器所需模拟二、模拟低通原型即一、模拟低通原型数字低通所需数字滤波器jHLzs、1ssa、zsb、Zz、2zsjHdjLeHjdeH由图可见，由模拟低通原型滤波器出发，设计数字滤波器的一种方法是由模拟低通原型滤波器激不变法或双线性变换法得到数字低通滤波器的再由数字低通得到所需的数字滤波器的jHLjLeHjdeH，用冲。这种方法的第一步，实际就是前面两节讨论的s平面与z平面的映射变换。关键是第二步，第二步实质是数字域z平面之间的变换，这种变换也称z平面变换法。jHLjHdjHdjdeH设计数字滤波器的第二种方法是由模拟低通原型滤波器，设计所需的模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，再由经冲激不变法或双线性变换法得到所需的数字滤波器的。这种方法的第二步，是前面两节讨论的s平面与z平面的映射变换。换，这种变换也称s平面变换法。关键是第一步，第一步的实质是模拟域s平面之间的变jHLjdeH设计数字滤波器的第三种方法是由模拟低通原型滤波器，直接设计所需的数字滤波器的。由于冲激不变法频谱的混叠效应，应用受到一定限制，所以此法适用双线性变换法。因为这种方法直接由模拟原型滤波器变换到数字滤波器所以也称原型变换法。分别讨论与这三种方法相关的z平面变换法、s平面变换法以及原型变换法。z平面变换或s平面变换的作用都是改变原滤波器的频率1、z平面变换法——数字域的频率变换特性，其实质是频率变换，所以统称频率变换法。ZHd的方法。因为前面讨论了由模拟原型低通设计数字低通的方法。现在zHl为原型，通过适当的频率讨论以已知数字低通变换，设计其它所需数字滤波器zHlZHd的自变量都是数字域变量，与这种变换的所以称z平面变换法。§8.4.1频率变换法z平面变换的作用是改变原滤波器的频率特性，其实质是数字域的频率变换，所以属于频率变换法。zZ为了区分变换前后的两个不同的z平面，设变换前为小平面，变换后为大平面，ZHzHdl11ZGz111ZGzzHZHld的映射关系为则1ZG应满足的条件：对映射关系的要求，或jeje1jeGjjjjeeGeGe且由条件ⅱ）可得因为：Z平面的单位圆z平面的单位圆ⅱ）具有相应的频率关系Z平面的单位圆内；z平面的单位圆内ⅰ）稳定性不变1ZG1111ZZiiNi1ZGi1ii/1（稳定系a.只要有一个极点，就有一个零点。零、极点成对出现，并且极点一定在单位圆内统）。在单位圆上恒为1，称为全通函数。函数任意一个全通函数可以表示为全通函数特点：11111iiiizZZZjeZ~0b.当由时，全通函数的相位变化NN~0量为，是全通函数的阶数。时当——模恒为121LLDFDFjleH~0:jdeH~0:jdjleHeH、1ZGN由变化量为可知，应为一阶全通函数。(1)低通到低通均为低通，但截止频率不同。其中：01Z01z11G001Z1z11G1111ZZZG1当为实数，且时，可以实现所要求的映射关系，所以因为以及因为即有：1G1111G11111ZGz111ZZjjjeee1cos12sin1tan221验证：频率变换关系：由可以解出2/112/1CjeHCCjeH~关系曲线如图8-15示。~cccjjjeee1cccjjjeee1cc若数字低通原型截止频率为，变换后为，代入（8-31）式可得确定0cc，现在时，变换频率扩展（原）0cc时，变换频率压缩（原，现在）关系曲线可知由2/ccje2sin2sin2/2/2/2/ccccjjjjcccccccceeeeccccjjjeee1解出上式分子、分母同乘可得ZHLDFDF1111111ZZZZZGjjjjjeeeee11只要将低通低通变换的，单位圆上的Z改为频响就旋转了，数字低通就变换为数字高通滤波器，即可见，对应的频率关系是，而不是。数字域频率变换关系为高通(2)低通22jleHjdeH，频率关系如图8.-16所示。jjjeee1cc低通到高通的变换关键是求参数。若数字低通原型截止频率为，变换后高通的截止频率为，由12cos2coscccc若计算结果，就取倒数2cos2coscccc可以解出例8-11设计一个数字切比雪夫高通滤波器，数字高通滤波器指标：截止频率6.0p，通带最大衰减1dB；阻带最小衰减15dB。2.0解：在例8-10中曾设计了一个截止频率为的数字切比雪夫低通滤波器。现在就用它做数字高通滤波器zHl的原型，经过平面变换法，设计出如图8-17所zHd示的数字高通滤波器。由已知条件2.0p6.0p38197.02cos2cos1212代入变换关系式，得11138197.0138197.0ZZz数字切比雪夫高通滤波器11138197.0138197.0ZZzzHZHld11138197.0138197.02121416493.05548.118482.04996.111001836.0ZZzzzzzz2121417647.05561.014019.00416.11102426.0ZZZZZ6.0jeH112图8-17数字切比雪夫高通滤波器BLDFDF，变为中心频率为jleHc0的低通将截止频率为jdeH的带通，频率变换示意图如图8-18所示。00210ccjleHjdeH带通(3)低通1111111ZZZZZGc1c2将对应关系代入变换关系式，可、1ZG以及以确定参数2N所以对应的变换全通函数的阶数。20相应的变是由时，即从。所以11211111212121ZkkZkkkkZkkZZG2cos2cos12212tan2cot12ck最后式中SLDFDF11211111212121ZkZkkkkZkZZG2cos2cos12122tan2tan12ck1ZG带阻(4)低通即为带阻，由此可得带通旋转其中见表5.1s平面变换法2、s平面变换法实质是模拟域的频率变换，是由归一化模拟原型低通设计所需数字滤波器第二种方法的第一双线性变换法。所以这种方法的关键就是第一步模拟zs步。该方法的第二步是前面已经讨论过的平面映射，既可以用冲激不变法（有一定限制），也可以用域的频率变换。s与数字域的频率变换法类似，有一组变换关系可以实现所需要的模拟域频率变换。用表示变换前的自变量，ssHl表示变换后的自变量，表示归一化的模拟原型低通的系统函数，归一化的模拟原型低通的截频为1p。s平面变换法的变换关系有归一化的模拟原型低通的设计简便、通用。尤其是利得实际（非归一化）低通、高通、带通、带阻滤波器。用归一化的模拟原型低通，经适当的频率变换可以求2/ssdLLAFAF(1)低通低通2式中是所需低通的截止频率。则非归一化的模拟低通的系统函数为2/sssHsHlL此式实际也是模拟原型低通去归一化公式。dHLAFAFss/2ss/1sssHsHLH/1高通12特别是当2式中是所需高通的截止频率。非归一化的模拟高通的系统函数为sssHsHlH/2归一化的模拟高通的系统函数为(2)低通120212212sssss12dBLAFAF(3)低通带通210是带通的中心频率非归一化的模拟带通的系统函数为120212212ssssslBsHsH式中上截止频率下截止频率dSLAFAF21212sss(3)低通带阻210是带通的中心频率非归一化的模拟带通的系统函数为021221212ssssslSsHsH12式中上截止频率下截止频率jdleHjHzs通过归一化模拟低通原型滤波器直接设计各种数字滤波不经过数字域或模拟域的频率变换，直接完成器的方法，这种方法称模拟原型直接变换法，其特点是的变换。由于冲激不变法的混叠效应，使其应用受到一的一般过程可以归纳为以下步骤：定限制，所以原型直接变换法只讨论双线性变换。设计§8.4.2原型变换法(1)根据数字滤波器指标，确定数字滤波器各临界频率截止频率kk(2)由双线性变换法的变换关系将变换为模拟低通C及衰减指标求出模拟原型滤波器的传递函(3)按数sHa(4)由双线性变换法的变换关系将sHa器的系统函数zH。。。转变为数字滤波C。2tan1、模拟低通——数字低通变换模拟低通到数字低通的变换关系为1111zzssHzHaL这正是§8.2所讨论的双线性变换，不过为方便这里设1111zzs2T。由得到频率变换关系为直接原型低——低的频率变换关系示意图如图8-19所示。ccc2tanCjHjeH1111zzssHzHaLC2/tanCCsHaC代入得到模拟低通原型传递函数一般设计步骤(1)根据数字滤波器指标，确定数字临界频率(2)模拟低通截止频率(3)将(4)sT250kHzfs4kHzfC1例8-12系统的采样间隔计一个三阶巴特沃思低通滤波器，其三分贝截止频率，要求设解。5.02104102233TfTCCCCTTCC22tan22)由双线性变换关系将变换为模拟域临界频率2T1C，取为，则。1）根据数字滤波器指标，确定数字临界频率CsHa3）、按、衰减指标求出AF的传递函数。三阶巴特沃思归一化低通原型122123ssssHacaasssHsH/3223322ccccsss122123sss4)由双线性变换法的变换关系将sHazH。转变为1112112111111121131111zzz