2019年高考全国1卷理科数学试题和答案

..6,2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)第I卷（选择题)一、单选题1．已知集合2Mx4x2，N{xxx60，则MN=A．{x4x3B．{x4x2C．{x2x2D．{x2x32．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22(x+1)y1B．22(x1)y1C．2(1)21xyD．2(y+1)21x3．已知0.20.3alog0.2,b2,c0.2，则2A．abcB．acbC．cabD．bca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．函数f(x)=sincosxx2xx在[—π，π的]图像大致为eord完美格式..A．B．C．D．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11167．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π618．如图是求22112的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12AB．A=21AC．A=112AD．A=112Aeord完美格式..9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则A．an2n5B．an3n10C．2S2n8nD．n12Sn2nn210．已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若│AF│22│F2B│，│AB││BF│1，则C的方程为A．2x221yB．22xy321C．22xy431D．22xy54111．关于函数f(x)sin|x||sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增2③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．86B．46C．26D．6第II卷（非选择题)13．曲线2xyxx在点(0,0)处的切线方程为__________．_3()e14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若12a，aa，则S5=___________．_146315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是___________．_eord完美格式..16．已知双曲线C：22xy221(a0,b0)ab的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若FAAB，F1BF2B0，则C的离心率为1___________．_17．VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinBsinC)sinAsinBsinC．（1）求A；（2）若2ab2c，求sinC．18．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．19．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若AP3PB，求|AB|．20．已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明：eord完美格式..（1）f(x)在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）f(x)有且仅有2个零点．21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，papbpcp(i1,2,,7)，其中aP(X1)，bP(X0)，ii1ii1cPX．假设0.5，0.8．(1)(i)证明：{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为221t1t4tx，（为参数），以坐标原点tOy21t为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．eord完美格式..（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）111abc222abc；（2）333(ab)(bc)(ca)24参考答案1．C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，Mx4x2,Nx2x3，则MNx2x2．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和eord完美格式..点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】zxyi,zix(y1)i,2(1)21,zixy则2(1)21xy．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3．B【解析】【分析】运用中间量0比较a,c，运用中间量1比较b,c【详解】alog0.2log10,22b0.20221,0.3000.20.21,则0c1,acb．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4．B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则eord完美格式..2626x51xy1052，得x42.07cm,y5.15cm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5．D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】sin(x)(x)sinxx由22f(x)f(x)cos(x)(x)cosxx，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．又f1242()1,22()22f()0．故选D．21【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6．A【解析】【分析】eord完美格式..本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有26情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有3C，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为63C662=516，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7．B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由(ab)b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为(ab)b，所以2(ab)babb=0，所以abb2，所以cos=2ab|b|12ab2|b|2，所以a与b的夹角为，故选B．3【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹eord完美格式..角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．8．A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】1A,k12是，因为第一次应该计算221121=12A，kk1=2，循执行第1次，环，执行第2次，k22，是，因为第二次应该计算22112=12A，1kk1=3，循环，执行第3次，k22，否，输出，故循环体为A，故选2AA．【点睛】1秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为．A2A9．A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，a55，4(72)S100，排除B，对C，422S40,a5S5S425850105，排除C．对D，152S0,aSS52505，排除D，故选A．455422【详解】eord完美格式..由题知，dS4a430412aa4d551，解得a13d2，∴an2n5，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10．B【解析】【分析】由已知可设F2Bn，则AF22n,BF1AB3n，得AF12n，在△AF1B中求1cosFAB，再在△AF1F2中，由余弦定理得3得1n，从而可求解.32【详解】法一：如图，由已知可设F2Bn，则AF22n,BF1AB3n，由椭圆的定义有2aBFBF4n,AF2aAF2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得1212cosFAB12224n9n9n122n3n3．在△AF1F2中，由余弦定理得2214n4n22n2n4，解得33n．22222a4n23,a3,bac312,所求椭圆方程为22xy321，故选B．法二：由已知可设F2Bn，则AF22n,BF1AB3n，由椭圆的定义有2aBFBF4n,AF2aAF2n．在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理1212eord完美格式..得224n422n2cosAFF4n,2122n42n2cosBFF9n21，又AF2F1,BF2F1互补，cosAFFcosBFF0，两式消去cosAF2F1,cosBF2F1，得2121223n611n，解得3n．22222a4n23,a3,bac312,所求椭圆方程为22xy321，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．