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10组合变形的强度计算本章主要研究组合变形的概念、斜弯曲和本章提要10组合变形的强度计算教学目的和要求:1.理解剪切与挤压的概念并会计算2.理解圆轴扭转的概念与强度计算3.掌握刚度条件及其应用重难点:重点:刚度条件及其应用难点:圆轴扭转的概念与强度计算本章内容10.1组合变形的概念10.2斜弯曲10.3偏心压缩(拉伸)10.4截面核心10.1组合变形的概念在实际工程中,构件的受力情况是复杂的,构件受力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形,而是由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形,称为组合变形。例如,图10.1(a)所示的屋架檩条;图10.1(b)所示的空心墩;图10.1(c)所示的厂房支柱,也将产生压缩与弯曲的组合变形。10.1.1组合变形的概念图10.1解决组合变形强度问题,分析和计算的基本步骤:首先将构件的组合变形分解为基本变形;然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力;最后将同一点的应力叠加起来,便可得到构件在组合变形试验证明,只要构件的变形很小,且材料服从虎克定律,由上述方法计算的结果与实际情况基本10.1.2组合变形的解题方法10.2斜弯曲对于横截面具有对称轴的梁,当横向力作用在梁的纵向对称面内时,梁变形后的轴线仍位于外力所在的平面内,这种变形称为平面弯曲。如果外力的作用平面虽然通过梁轴线,但是不与梁的纵向对称面重合时,梁变形后的轴线就不再位于外力所在的平面内,这种弯曲称为斜弯曲。如图10.2(a)所示的矩形截面悬臂梁,集中力P作用在梁的自由端,其作用线通过截面形心,并与竖向形心主轴y的夹角为φ将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个Py=PcosφPz=Psinφ分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面10.2.1外力的分解图10.2在距自由端为x的横截面上,两个分力Py和Pz所Mz=Py·x=Pcosφ·x=McosφMy=Pz·x=Psinφ·x=Msinφ该截面上任一点K(y,z),由Mz和My所引起的正σ′=Mz·y/Iz=yMcosφ/Izσ″=My·z/Iy=zMsinφ/Iy10.2.2内力和应力的计算根据叠加原理,Kσ=σ′+σ″=Mz·y/Iz+My·z/Iy=M(ycosφ/Iz+zsinφ/Iy)式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性矩。正应力σ′和σ″的正负号,可通过平面弯曲的变形情况直接判断,如图10.2(b)所示,拉应力取正号,压应力取负号。图10.2因为中性轴上各点的正应力都等于零,设在中性轴上任一点处的坐标为y0和z0,将σ=0代入式(10.1),σ=M(y0cosφ/Iz+z0sinφ/Iy)=0y0cosφ/Iz+z0sinφ/Iy=0上式称为斜弯曲时中性轴方程式。10.2.3中性轴的位置从中可得到中性轴有如下特点:(1)(2)力P穿过一、三象限时,中性轴穿过二、四象(3)中性轴与z轴的夹角α(图10.2(c))的正切为tanα=|y0/z0|=Iz/Iytanφ从上式可知,中性轴的位置与外力的数值有关,只决定于荷载P与y轴的夹角φ及截面的形状和尺寸。图10.2进行强度计算,首先要确定危险截面和危险点的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处,对于工程上常用具有棱角的截面,危险点一定在棱角上。图10.2(a)所示的悬臂梁,固定端截面的弯矩值最大,为危险截面,该截面上的B、C两点为危险点,B点产生最大拉应力,C点产生最大压应力。若材料的抗拉和抗压强度相等,则斜弯曲的强度条件为σmax=Mzmax/Wz+Mymax/Wy≤[σ]10.2.4强度条件对于不同的截面形状,Wz/Wy的比值可按下述矩形截面:Wz/Wy=h/b=1.2~2工字形截面:Wz/Wy=8~10;槽形截面:Wz/Wy=6~8。【例10.1】跨度l=4m的吊车梁,用32a号工字钢制成,材料为A3钢,许用应力[σ]=160MPa。作用在梁上的集中力P=30kN,其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角φ=15°,如图10.3所示【解】(1)荷载分解将荷载P沿梁横截面的y、zPy=Pcosφ=30cos15°kN=29kNPz=Psinφ=30sin15°kN=7.76kN(2)吊车荷载P位于梁的跨中时,吊车梁处于最不利的受力状态,跨中截面的弯矩值最大,为危险截面。该截面上由Py在xOyMzmax=Pyl/4=29×4/4kN·m=29kN·m该截面上由Pz在xOzMymax=Pzl/4=7.76×4/4kN·m=7.76kN·m(3)由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和WzWy=70.8cm3=70.8×103mm3Wz=692.2cm3=692.2×103mm3【例10.2】图10.4所示矩形截面木檩条,两端简支在屋架上,跨度l=4m。承受由屋面传来的竖向均布荷载q=2kN/m。屋面的倾角φ=20°,材料的许用应力[σ]=10MPa【解】(1)荷载q与y轴间的夹角φ=20°,将均布荷载q沿截面对称轴y、zqy=qcosφ=2cos20°kN/m=1.88kN/mqz=qsinφ=2sin20°kN/m=0.68kN/m(2)内力计算檩条在qy和qz单独作用下,最大弯矩均发生在跨中截Mzmax=qyl2/8=1.88×42/8kN·m=3.76kN·mMymax=qzl2/8=0.68×42/8kN·m=1.36kN·m(3)选择截面尺寸根据式(10.4)Mzmax/Wz+Mymax/Wy≤[σ]上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设Wz/Wy=h/b=1.53.76×106/1.5Wy+1.36×106/Wy≤10Wy≥387×103mm3由Wy=hb2/6=1.5b3/6≥387×103解得b≥115.68mm为便于施工,取截面尺寸b=100mmh=1.5b=1.5×100mm=180mm选用100mm×180mm图10.2图10.3图10.410.3偏心压缩(拉伸)图10.5(a)所示的柱子,荷载P的作用线与柱的轴线不重合,称为偏心力,其作用线与柱轴线间的距离e称为偏心距。偏心力P通过截面一根形心主轴时,称为单向偏心受压(1)荷载简化和内力计算将偏心力P向截面形心平移,得到一个通过柱轴线的轴向压力P和一个力偶矩m=Pe的力偶,如图10.5(b)所示。横截面m-n上的内力为轴力N和弯矩Mz,其值为N=PMz=Pe10.3.1单向偏心压缩(拉伸)(2)对于该横截面上任一点K(图10.6),由轴力N所引σ′=-N/A由弯矩Mzσ″=-Mzy/Iz根据叠加原理,Kσ=σ′+σ″=-N/A-Mzy/Iz(3)强度条件从图10.6(a)中可知:最大压应力发生在截面与偏心力P较近的边线n-n线上;最大拉应力发生在截面与偏心力P较远的边线m-mσmin=σymax=-P/A-Mz/Wzσmax=σlmax=-P/A+Mz/Wz截面上各点均处于单向应力状态,所以单向偏σmin=σymax=|-P/A-Mz/Wz|≤[σy]σmax=σlmax=-P/A+Mz/Wz≤[σl](4)讨论下面来讨论当偏心受压柱是矩形截面时,截面边缘线上的最大正应力和偏心距e之间的关系。图10.6(a)所示的偏心受压柱,截面尺寸为b×h,A=bh,Wz=bh2/6,Mz=Peσmax=-P/bh+Pe/bh2/6=-P/bh(1-6e/h)边缘m-m上的正应力σmax的正负号,由上式中(1-6e/h)的符号决定,可出现三种情况:①当6e/h1,即eh/6时,σmax为压应力。截面全部受压,截面应力分布如图10.7(a)所示。②当6e/h=1,即e=h/6时,σmax为零。截面全部受压,而边缘m-m上的正应力恰好为零,截面应力分布如图10.7(b)所示③当6e/h1,即eh/6时,σmax为拉应力。截面部分受拉,部分受压,应力分布如图10.7(c)所示。【例10.3】图10.8所示矩形截面柱,屋架传来的压力P1=100kN,吊车梁传来的压力P2=50kN,P2的偏心距e=0.2m。已知截面宽b=200mm(1)若h=300mm,则柱截面中的最大拉应力和最大压应力各为多少?(2)欲使柱截面不产生拉应力,截面高度h应为多少?在确定的h尺寸下,柱截面中的最大压应力为多少?【解】(1)N=P1+P2=(100+50)kN=150kNMz=P2e=50×0.2kN·m=10kN·m(2)计算σlmax和σymax由式(10.6)σlmax=-P/A+Mz/Wz=(-2.5+3.33)MPa=0.83MPaσymax=-P/A-Mz/Wz=(-2.5-3.33)MPa=-5.83MPa(3)确定h和计算σymax欲使截面不产生拉应力,应满足σlmax≤0-P/A+Mz/Wz≤0-150×103/200h+10×106/200h2/6≤0则h≥400mm取h=400mm当h=400mmσymax=-P/A-Mz/Wz=(-1.875-1.875)MPa=-3.75MPa对于工程中常见的另一类构件,除受轴向荷载外,还有横向荷载的作用,构件产生弯曲与压缩的组合变形。【例10.4】图10.9(a)所示的悬臂式起重架,在横梁的中点D作用集中力P=15.5kN,横梁材料的许用应力[σ]=170MPa。试按强度条件选择横梁工字钢的型号(自重不考虑)【解】(1)横梁的受力图如图10.9(b)所示。为了计算方便,将拉杆BC的作用力NBC分解为Nx和Ny两个分力。由平衡方Ry=Ny=P/2=7.75kNRx=Nx=Nycotα=7.75×3.4/1.5kN=17.57kN(2)横梁在Ry、P和Ny的作用下产生平面弯曲,横梁中点截面DMmax=Pl/4=15.5×3.4/4kN·m=13.18kN·m横梁在Rx和Nx作用下产生轴向压缩,各截面的轴力N=Rx=17.57kN(3)选择工字钢型号由式(10.7)σymax=|-N/A-Mmax/Wz|≤[σ]由于式中A和Wz都是未知的,无法求解。因此,可先不考虑轴力N的影响,仅按弯曲强度条件初步选择工字钢型号,再按照弯压组合变形强度条件进行校核。由σmax=Mmax/Wz≤[σ得Wz≥Mmax/[σ]=77.5×103mm3=77.5cm3查型钢表,选择14号工字钢,Wz=102cm3,A=21.5cm2根据式(10.7)σymax=|-N/A-Mmax/Wz|=137MPa[σ]结果表明,强度足够,横梁选用14号工字钢。若强图10.5图10.6图10.6图10.7图10.8图10.9当偏心压力P的作用线与柱轴线平行,但不通过横截面任一形心主轴时,称为双向偏心压缩。如图10.10(a)所示,偏心压力P至z轴的偏心距为ey,至y轴的偏心距为ez10.3.2双向偏心压缩(拉伸)(1)将压力P向截面的形心O简化,得到一个轴向压力P和两个附加力偶矩mz、my(图10.10(b))mz=Pey,my=Pez可见,双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互由截面法可求得任一截面ABCDN=P,Mz=Pey,My=Pez(2)应力计算对于该截面上任一点K(图10.10(c)),由轴力N所σ′=-N/A由弯矩Mzσ″=-Mzy/Iz由弯矩Myσ=-Myz/Iy根据叠加原理,Kσ=σ′+σ″+σ=-N/A-Mzy/Iz-Myz/Iy(3)强度条件由图10.10(c)可见,最大压应力σmin发生在C点,最大拉应力σmax发生在A点,其值为σmin=σymax=-P/A-Mz/Wz-My/Wyσmax=σlmax=-P/A+Mz/Wz+My/Wy危险点A、C均处于单向应力状态,所以强度条σmin=σymax=-P/A-Mz/Wz-My/Wy≤[σy]σmax=σlmax=-P/A+Mz/Wz+My/Wy≤[σl]图10.10图10.10图10.10图10.1010.4截面核心在单向偏心压缩时曾得出结论,当压力P的偏心距小于某一值时,横截面上的正应力全部为压应力,而不出现拉应力。当偏心压力作用在截面形心周围的一个区域内时,使整个横截面上只产生压应力,这个荷载作用区域称为截面核心。10.4.1截面核心的概念在图10
本文标题:工程力学教案10
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