巧用等底等高的关系求图形的面积

x5j0sxa409aa01巧用等底等高的关系求图形的面积孟桂民一、知识基础在我们以前的学习中，我们掌握了许多基本图形的面积计算方法，请同学们观察，下图中哪些图形的面积相等？为什么？已知21//ll（单位：厘米）从图中我们看出ABEABDABCSSSFGJKHGFISS平行四边形平行四边形因为△ABC和△ABD及△ABE等底等高所以它们的面积相等，同理平行四边形HGFI和平行四边形FGJK等底等高所以它们的面积也相等。而平行四边形FGHI和三角形ABC等底等底，所以平行四边形的面积是三角形面积的2倍。从这个练习我们得到：如果两个或几个三角形底相等，高也相等，那么这几个三角形的面积也相等。下面还有一组图形请同学们观察，下面几个三角形面积之间有什么关系？为什么？（单位：厘米）从观察我们看出①图1的三角形面积和图2的三角形面积相等，因为这两个三角形等底等高所以它们的面积相等。②图3的三角形面积是图1的三角形面积的2倍，因为图3的三角形和图1的三角形高相等，图3三角形的底是图1三角形底的2倍，根据三角形面积计算公式得到：图3的三角形面积是图1三角形面积的2倍。③图4的三角形面积也是图1三角形面积的2倍，因为两个三角形的底相等，图4三角形的高是图1三角形高的2倍，所以根据三角形面积的计算公式得到，图4的三角形面积是图1三角形面积的2倍，从这个练习我们又发现：如果两个三角形的底（或高）的长度相等，那么这两个三角形高（或底）的比就是这两个三角形面积的比。用上面这些关系我们可以解答一些较复杂的求图面积的题。二、方法例谈学校有一块三角形的植物园地，生动小组同学想把这块地等分成4份，以便种植四种不同的花籽进行实验，怎么分呢？于是他们请数学小组同学帮助，下面是数学小组同学们提出的一些分配方案，请你们帮助分析一下，他们的分配方案都正确吗？①把底边BC等边四份，再分别和A点连接成四个三角形，这种分配方案你认为正确吗？这种分配方案正确，因为把底边BC等分四份，这时四个三角形故底相等，又都以A点为顶点，所以它们的高也相等。因为底等高等，所以这四个三角形的面积相等。②已知D是BC的中点，F是AB的中点E是AC的中点请你们自己分析一下，这种分配方案正确吗？通过分析我们得到：这种分配方案正确，因为D是BC的中点，所以ADCABDSS又∵F是AB的中点∴BFDAFDSSE是AC的中点∴DECADESS∴DECADEBFDAFDSSSS所以分配方案正确③已知D是BC的中点，F是AB的中点，E是AC的中点，你认为这种分配方案正确吗？为什么？这种方案正确，因为EF分别为AC、AB的中点，所FE一定//BC并且FE的长度等于BC长度的一半，而D是BC的中点，所以BD=DC=FE又∵FE//BC且F、E为两边的中点，所以四个三角形的高相等。因为四个三角形的底相等，高也相等，所以它们的面积相等，下面还有一些分配方案，你认为它们都正确吗？④D为BC的中点；E为AD的中点⑤D为BC的中点；E为DC的中点；F为AD的中点BD=BC41EC=BC41F是AD的中点通过分析我们知道：这三种分配方案都正确，你还能想出其它的分配方案吗？请你也试着分一分吧！刚才我们运用三角形等底等高的关系，解决了生活中的实际问题，运用这种关系，我们还可解决许多生活中的问题三、题解变析，解决问题例1根据实际需要，生动小组同学把三角形植物园地划分成甲、乙两部分，你能根据它们的关系，说出乙的面积是甲面积的几倍？请看图（单位：米）从图中我们很难发现解题思路，但如何我们连接DC就可以把乙分解成两个三角形，这样再解答就比较简单了。所以解题时先连接DC因为EC=9AE=3∴EC长度是AE长度的3倍又因为三角形AED和三角形EDC都以D点为顶点，所以它们的高相等所以ADEEDCSS3又∵D是AB的中点，C为三角形BCD和三角形ACD的顶点，所以这两个三角形等底等高，面积相等。∴ADEDECADEADCBDCSSSSS4∴乙的面积ADEBDCEDCSSS7∴乙的面积是甲面积的7倍。从上面例题我们看出：在奇妙的几何世界里，几何图形多种多样，变化万千，许多问题，只靠原图形上已有的线段很难发现解题思路，需要添加一些辅助线，如例1中添加了DC这条线段，这样就在图形与图形之中，架起“桥梁”，使我们才能发现图形之间的关系，进而正确解题。例2（见图）一个平行四边形的一边长15厘米，这条边上高为6厘米，用一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差18平方厘米，那么其中梯形的上底是多少厘米？解答这个题时，如果我们直接求梯形的上底我们很难解决问题，因为原图形是一个平行四边形，那么我们不妨利用等底等高的关系来解题，所以可以添加一条辅助线过平行四边形的顶点A做EC的平行线，交BC为F点，∴AE=FCED=BF所以EDCABFSS（三角形底等高等面积相等）而原分成的两部分相差18平方厘米，即平行四边形AFCE的面积是18平方厘米，高是6厘米，所以AE的长度就等于18÷6=3（厘米）从而得出梯形的上底是3厘米。师：利用等底等高的关系，我们不仅可以解决三角形面积的问题，我们还可以解决其它图形的面积问题。例3公园里有一个长方形花坛，把这个花坛分成了四部分，现已知三部分的面积，你能根据它们的关系求出第四部分的面积吗？6平方米24平方米18平方米？平方米从图中我们看出第一部分面积是6平方米，第二部分面积是18平方米，而这两部分长相等，所以面积的比就是宽的比是18：6=3：1而第三部分面积是24平方米，它和第四部分的长也相等，宽的比也是3：1所以面积比也是3：1，即第四部分的面积是第三部分面积的三倍，所以用24×3=72（平方米）答：第四部分的面积是72平方米。（出示）四、智能拓展下图是长方形实验田，现将这块实验田分成了甲、乙、丙、丁四部分，已知甲的面积是40平方米，乙的面积是60平方米，请你求出丙的面积是多少平方米？要求丙的面积，我们可以先求出丁的面积，然后用丁+乙的面积减去甲的面积，就是丙的面积。连接FB∵甲和乙的面积比是40：60=2：3∴FBES和丁的面积比也是2：3又∵平方米乙60SSFBEFDCFDBFDCFDBFBESSSSSS而甲甲乙所以等量减等量差相等，即乙SSFBE∴丁的面积=60÷2×3=90（平方米）∴丙的面积=90+60-40=110（平方米）答：丙的面积是110平方米。