师园拓扑学考试复习题

师园拓扑学考试复习题一、单项选择题（每题2分）选20题考2、设{,,}Xabc，下列集族中,（②）是X上的拓扑.①{,,{},{,},{}}XaabcT②{,,{},{,},{,}}XaabacT③{,,{},{},{,}}XabacT④{,,{},{},{}}XabcT3、已知{,,,}Xabcd,下列集族中，（①）是X上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}XaabacdT②{,,{,,},{,,}}XabcabdT③{,,{},{},{,,}}XabacdT④{,,{},{}}XabT19、在实数空间中，有理数集Q的内部Q是（①）①②Q③R-Q④R20、在实数空间中，有理数集Q的边界()Q是（④）①②Q③R-Q④R21、在实数空间中，整数集Z的内部Z是（①）①②Z③R-Z④R23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（③）①②[0,1]③{0,1}④(0,1)25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（④）①②[0,1]③{0,1}④(0,1)29、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（①）①()dA②()dAXA③()dAA④()dAX35、离散空间的任一子集为(③)①开集②闭集③即开又闭④非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为(④)①开集②闭集③即开又闭④非开非闭37、实数空间R中的任一单点集是(②)①开集②闭集③既开又闭④非开非闭39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（①）①整数集②ba,③有理数集④无理数集40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（④）①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集Z46、设X是一个拓扑空间，,ABX,且满足()dABA,则B是（②）①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭50、设{1,2,3}X,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X是X的拓扑，{1}A,则X的子空间A的拓扑为(①)①{,{1}}T②{,,{1,2}}TA③{,,{1},{3},{1,3}}TX④{,,{1}}TX51、设{1,2,3}X,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X是X的拓扑，{2}A,则X的子空间A的拓扑为(②)①{,{2},{1,2}}T②{,}TA③{,,{2}}TX④{,,{1,2}}TX72、实数空间R(③)①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对74、有理数集Q作为实数空间R的子空间（③）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（②）①平庸性②连通性③离散性④第一可数性公理81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（②）①第一可数性公理②连通性③第二可数性公理④平庸性82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（②）①第一可数性公理②可分性③第二可数性公理④离散性85、设{1,2}X，{,,{1}}XT，则(,)XT是(①)①0T空间②1T空间③2T空间④以上都不对93、设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，则X是（③）①正则空间②正规空间③1T空间④4T空间94、设X是一个拓扑空间，若对xX及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得VU,则X是（①）①正则空间②正规空间③1T空间④4T空间95、设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得VU,则X是（②）①正则空间②正规空间③1T空间④4T空间二、填空题（每题2分）选10题考1、设{,}Xab,则X的平庸拓扑为{,}TX;14、设{,,}Xabc,则X的平庸拓扑为{,}TX;15、设{,,}Xabc,则X的离散拓扑为答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}TXabcabacbc18、:fXY是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集()fX的一个同胚，则称映射f是一个嵌入20、设,XY是两个拓扑空间，:fXY是一个映射，若X中任何一个开集U的象集()fU是Y中的一个开集，则称映射f是一个开映射21、设,XY是两个拓扑空间，:fXY是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集()fU是Y中的一个闭集，则称映射f是一个闭映射23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集,AB,使得,ABABX,则X是一个不连通空间25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZY，则Z也是X的一个连通子集38、设X是一个拓扑空间，如果则称X是一个0T空间;答案：X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X是一个拓扑空间，如果则称X是一个1T空间;答案：X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点三．判断（每题2分）选5题考1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(√)2、设12,TT是集合X的两个拓扑，则12TT不一定是集合X的拓扑(×)3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（√）7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集,AB,使得,ABABX（√）8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间(√)9、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（√）四.证明（30分）选2题考P55定理2.2.1P72定理2.4.10P75定理2.5.3P119定理4.1.4和定理4.1.5