带电粒子在磁场中做圆运动的圆心的方法

1确定带电粒子在磁场中做圆运动的圆心的方法卢宗长北京二中（100010）带电粒子在磁场中圆运动的问题综合性较强，是高中物理的一个难点，也是高考的热点。解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的规律，又要用到数学中的平面几何的知识。其中关键是确定圆运动的圆心，只有找到圆心的位置，才能正确运用物理规律和数学知识。下面给出几种找圆心常用的方法。方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。例1、如图1所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为3260sinaar①洛仑兹力是向心力rmvqBv2②由①②解得aqmvBar23,32.射出点的纵坐标为（r+rsin30°）=1.5r,因此射出点坐标为（0，a3）。方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。例2、电子自静止开始经M、N板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：2（1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；（2）匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为m，电量为e）解析：（1）联结AP的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦AP的中垂线，由于电子通过A点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过A点的半径与磁场的左边界重合。AP弦的中垂线OC与磁场左边界的交点O即是电子圆运动的圆心，以O为圆心以OA为半径画圆弧，如图3所示，（2）在M、N间加速后获得的速度为v，由动能定理得：221mveU①电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r，则：rvmeBv2②在△AQP中：22sindLL③在△ACO中：rdLrAC2/sin22④由①②③④解得：B=emUdLL2222方法三、利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。例3、一质量为m、带电量为+q的粒子以速度v从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从B处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了B点正下方的C点。如图示4所示，不计重力，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）C点到B点的距离h。解析：（1）反向延长vb交y轴于O2点，作∠BO2O的角平分线交x轴于O1，O1即为圆运动轨道的圆心，OO1即为圆运动轨道的半径，3其半径为qBmvOOR1①画出圆运动的轨迹（图5虚线圆）交BO2于A点，最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图5阴影所示。设最小的磁场区域半径为r,则RrOA32②2minrS③利用①②③解得2222min43BqvmS（2）B到C受电场力作用，做类平抛运动沿初速方向：vth30sin④沿电场方向：22130costmqEh⑤利用④⑤消去t解得qEmvh234.