常微分期末考试试题和答案1

1《常微分方程》期末考试试卷（1）班级学号姓名成绩题号一二三总分分数.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)0MxydxNxydy有只与x有关的积分因子的充要条件是。2、若12(),(),,()nxtxtxt为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。3、若()t和()t都是'()xAtx的基解矩阵，则()t和()t具有的关系是_____________________________。4、函数),(yxf称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如果。5、当时，方程0),(),(dyyxNdxyxM称为恰当方程，或称全微分方程。6、若()t是xtAx)(的基解矩阵，则xtAx)()(tf满足)(0tx的解。7、若()(1,2,,)ixtin为n阶齐线性方程()()1()()0nnnxatxatx的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为。8、求dxdy=f(x,y)满足00()yxy的解等价于求积分方程的解。9、如果),(yxf在R上且关于y满足李普希兹条件，则方程),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy，定义于区间hxx0上，连续且满足初始条件00)(yx，其中h，),(max),(yxfMRyx。得分2二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程221dyydxxyxy的解。11、求方程2dyxydx通过点(1,0)的第二次近似解。12、求非齐线性方程sinxxt的特解。13、求解恰当方程0)4()3(2dyxydxxy。14、求伯努利方程的通解。26xyxydxdy三、证明.（20分）15、1)试验证初值问题2114xx，12(0)的解为:1123212()()()tttet;2）求该微分方程组的expAt。试卷（1）答案一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)0MxydxNxydy有只与x有关的积分因子的充要条件是)(xNxNyM。2、若12(),(),,()nxtxtxt为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是12[(),(),,()]0nwxtxtxt。得分得分33、若()t和()t都是'()xAtx的基解矩阵，则()t和()t具有的关系是()()ttC，)(btaC为非奇异常数矩阵。4、函数),(yxf称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如果存在常数Ｌ0，对于所有Ryxyx)(),,(2,211都有使得不等式212,211)(),(yyLyxfyxf成立。5、当xNyM时，方程0),(),(dyyxNdxyxM称为恰当方程，或称全微分方程。6、若()t是xtAx)(的基解矩阵，则xtAx)()(tf满足)(0tx的解0110()()()()()()ttxttttsfsds。7、若()(1,2,,)ixtin为n阶齐线性方程()()1()()0nnnxatxatx的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为)()(1txctxinii，其中nccc,,2,1是任意常数。8、求dxdy=f(x,y)满足00()yxy的解等价于求积分方程y=y0+xxdxyxf0),(的解。9、如果),(yxf在R上连续且关于y满足李普希兹条件，则方程),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy，定义于区间hxx0上，连续且满足初始条件00)(yx，其中),min(Mbah，),(max),(yxfMRyx。二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程221dyydxxyxy的解。解：原式可化为221()dyydxyxx分离变量得21(1)ydydxyxx4两边积分后211ln1lnln12yxxc即222(1)(1)yxcx故原方程的通解为222(1)(1)yxcx11、求方程2dyxydx通过点(1,0)的第二次近似解。解：令0)(0x则221001111()()22xxxyxydxxdxx2222532011111111111()[()][()]222206430xxxyxxdxxxdxxxxx12、求非齐线性方程sinxxt的特解。解：线性方程0xx的特征方程210，故特征根i。又()sinftt，i是特征单根，所以原方程有特解(cossin)xtAtBt，将其代入原方程得12A，B=0。故原方程的特解为1cos2xtt。13、求解恰当方程0)4()3(2dyxydxxy。解：1yM，1xN.则xNyM.所以此方程为恰当方程。凑微分，0432ydydxxxdyydx得Cyxyx23214、求伯努利方程的通解。26xyxydxdy解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=1y,算得dxdyydxdz25代入原方程得到xzxdxdz6，这是线性方程，求得它的通解为z=826xxc带回原来的变量y，得到y1=826xxc或者cxyx886，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.三、证明.（20分）15、1)试验证初值问题2114xx，12(0)的解为:1123212()()()tttet;2）求该微分方程组的expAt。1）证明：221()69014p解得1,23此时k=112n12v111123322120()()(3)()!ititittteAEeti2）解：由公式expAt=10()!intiiteAEi得33310111exp(3)01111tttttAteEtAEetett