常微分课后答案2.1

常微分方程习题2.11.xydxdy2,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxycyxxcycyxdxdyy22,11,0,ln,212,0)1(.22dyxdxy并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxxy1ln11,11,001ln1,11ln0,11123yxydxdyxy321解：原式可化为：xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,,,6ln)1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：cxyxarctgcxarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx)(,11111,.12222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令）（列的方程。、作适当的变换求解下两边积分得：解：变量分离，（2）．2)(1yxdxdy解cxyxarctgyxcxarctgttdxdttttdxdtdxdtdxdytyx)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组）（UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXxyxyxyxyxyxdxdyU21222'22,31,3131,31;012,0121212.32.7)5(72177217)7(,71,1,525,4)5(22cxyxcxtdxdttttdxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令）（（5）．18)14()1(22xyyxdxdy原方程的解。，是，两边积分得分离变量，，所以求导得，则关于令解：方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdxdy6)383232(941494141412)14(1818161222222（7）．2252622yxxyxydxdy解：，则原方程化为，，令uyxxyxydxdyxxyyxydxdy32322332322232]2)[(32(2)(126326322222xuxuxxuxudxdu，这是齐次方程，令cxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzzzzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，，，，所以，则（9）.yyyxxxyxdxdy3232332解：原方程化为123132;;;;;)123()132(2222222222yxyxdxdyyxyyxxdxdy令)1.......(123132;;;;;;;;;;;;,22uvuvdvduvxuy则方程组，，，）；令，的解为（111101230132uYvZuvuv则有zyzydzdyyzyz23321023032）化为，，，，从而方程（令)2.(..........232223322，，，，，所以，，则有ttdzdtzttdzdtztdzdtztdzdyzyt当是原方程的解或的解。得，是方程时，，即222222)2(1022xyxytt当cxyxydzzdtttt5222222)2(12223022两边积分的时，，分离变量得另外cxyxyxyxy522222222)2(2原方程的解为，包含在其通解中，故，或，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程cyxxydxxduuuuuxuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdxdyyx4ln142241)22(1dxduuxy(2)0.x,c2故原方程的解为原也包含在此通解中。0y,c2即,c2两边同时积分得：dxx12udu变量分离得：),(2ux1dxdu则方程化为u,xy令1dxdyyx时，方程化为0sxy是原方程的解，当0y或0x当:(1)解程。故此方程为此方程为变u)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dxduf(u),1dxduy1得：ydxdudxdyx所以,dxdydxdyxy求导导得x关于u,xy证明：因为22).2()1(.1)(3.222222222222224223322222222xyxyxyxyxuuuuyx4.已知f(x)xxfxdtxf0)(,0,1)(的一般表达式试求函数.解：设f(x)=y,则原方程化为xydtxf01)(两边求导得'12yyycxyycxdyydxdxdyy21;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入把cxy21xydtxf01)(xyccxccxcxdtctx21,02)2(;;;;;;;;;;2210所以得5.求具有性质x(t+s)=)()(1)()(sxtxsxtx的函数x(t),已知x’(0)存在。解：令t=s=0x(0)=)0(1)0()0(xxx=)0()0(1)0(2xxx若x(0)0得x2=-1矛盾。所以x(0)=0.x’(t)=)(1)(0(')()(1[))(1)((lim)()(lim22txxtxtxttxtxttxttx)))(1)(0(')(2txxdttdxdtxtxtdx)0(')(1)(2两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t]