幂级数在近似计算中的应用

1幂级数在近似计算中的应用摘要：形如200102000()()()()nnnnnaxxaaxxaxxaxx的函数项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln2e等，利用计算机相关软件，进行近似计算.关键词：幂级数、近似计算1.理论依据以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成无数级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()nrx估计。我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项230121351211=11!2!3!!!(1)(1)213!5!21(2n1)!!=+(2)!!nnnxnnnnnnnnxxxxxexrnnnxxxxxnnn①②arctanx③arcsinxx211231121(1)(1)23nnnnnnxnxxxxxnn④ln(1+x)=2.的近似计算⑴由函数arctanyx的幂级数展开式知1211(1)21nnnxnarctanx①1x若取时1111(1)43521nn（1）1114(1+(-1))3521nn等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。2如果取级数前n项之和作为的近似值即1114(1+(-1))3521nn，其误差为42+1nrn，为了保证误差不超过410，就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctanx展开式而言，当x越小收敛越快，恰恰在端点1x收敛最慢.以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些.②现若取33x带入展开式得351211111111()()(1)()635213333nnn（2）12311111111123(1(1))335373213nnn若取级数的前n项和作为的近似值，其误差为23(2+1)3nnrn下面实现(2)式的计算，若要求误差小于410，计算的程序见附录1当n=8时，4892310193r2371111111123(1)3.14167335373153③现取12x，1arctan2，显见04，记4，而1tantan()43，所以1tan3arc，就是11tantan423arcarc3513135131111114(...23252132111111...(1))3.1415633353133n(3)下面实现(3)的计算，若要求误差小于410，计算的程序见附录23当n=7时，1351335131111111111114(......(1))3.141562325213233353133n⑵对于sinarcx的展开式而言，取12x11(21)!!162(2)!!21nnnn+(4)下面实现(4)的计算，若要求误差小于410，计算的程序见附录3当n=4时，4497!!108!!92r35711!!3!!5!!3.14115622!!324!!526!!72综上，知当误差确定时，对相同的幂级数展开式，x的取值不同，近似计算的精确程度也不同，对不同的幂级数展开式结果亦然.3.数e的近似计算xe以的幂级数展开式为基础进行讨论2301!2!3!!nnxnxxxxexnn当x=1时，1112!!nxen21111(11)2!!(1)!(2)!(3)!1111111(1)(1)(1)!(2)(2)(3)(1)!1(1)!nxennnnnnnnnnnnn所以取作为近似值，则误差例如:精确到7110，则需要71110!10nrnnn(见附录4)111112.71828182!3!10!e4扩广:利用幂级数推导e是无理数1110(11)0!(11)12!!!2!!nnxxennennnn1!(11)2!!nxknnen令01k1!(11)112!!11!2!!11112!!!nxnnenennnknnn反证法:假设e是有理数，则,,(,)1,pqNpqpq11!1111!(11)2!!!2!!pkpnnennkqnnnqn等式左边是一个整数，右端第一项是整数，而k是小数；即右端不是整数，矛盾.故e是无理数.3.对数的计算利用对数的幂级数展开式，作对数的近似计算。根据对数的特征，只要计算出正整数的特征，那么由对数的运算，其它有理数的对数也就知道了.以ln(1+x)的麦克劳林级数作为出发点12311(1)(1)23nnnnnxxxxxxnnln(1+)=11111=1ln21(1)234nxn①当时，当取前n项作为其近似值，其误差1111(1)1)2341nnnxRnn=ln2-(1-如要精确到410就要截取一万项来计算，另外上面的展开式的收敛域为11x,这就不能直接用它来计算其它整数的对数.5下面用一个收敛较快的幂级数来计算ln21ln1xx②利用的幂级数展开式233521352135ln(1)231lnln(1)ln(1)2()13521111112111111ln(1)2()213(21)53(21)311111,ln22(33353(21)nnnxxxxxnxxxxxxxxnxxxnnnnnnnn令令2142+12+32+1222-1)31011=2(+)(2+1)3(2+3)32111(1+++)=(2+1)3234(2+1)3nnnnnnrnnnn如要精确到，443571010,=4()1111ln22()0.301033335373nrn如要精确到，即使只要见附录535213511111ln(1)2()213(21)53(21)3111ln(1)ln()213(21)5(21)nnnnnnnnnn拓展：这是一个递推公式，所以据此可求任何正整数的对数，相应的也可求有理数的对数.3535111ln3ln22()0.98653553111ln52ln22()1.609453553如：如此进行下去，可得ln6,ln7,…的值利用上述计算方法，通过换底公式，我们可以计算得到了lgx的一些近似计算结果并与数学用表中lgx值进行比较（见表）6表lgx的幂级数近似计算结果与数学用表中数值的比较12345678910幂级数算00.301030.477060.602060.69870.778090.845040.900900.954121数学用表00.30100.47710.60210.69900.77820.84510.90310.95421通过此表，知幂级数作为近似计算的工具，结果与真实值很相近.参考文献[1]董延闿.级数[M].上海:上海科学技术出版社,1982.[2]华东师范大学数学系.数学分析.[M].北京:高等教育出版社,1999[3]周晓阳.数学实验与Matlab.武汉:华中科技大学出版社,2002附录1.s=0;n=1;ps=pi;whileabs(s-ps)1e-4s=(-1)^(n-1)*2*3^(1/2)/[(2*n-1)*3^(n-1)]+s;n=n+1;ends,n程序所得结果为s=3.14167431n=8即为使计算结果精确到小数后第四位，只需求对应级数前7项的和利用Matlab软件算得17(1)2312131nnnnsymsk7symsum((-1)^(k-1)*x^(2*k-1)/(2*k-1),k,1,8)ans=x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9-1/11*x^11+1/13*x^13-1/15*x^151=3x当时symskf=6*(-1)^(k-1)*(1/sqrt(3))^(2*k-1)/(2*k-1)symsum(f,k,1,7)结果为ans=3.141674312.s=0;n=1;ps=pi;whileabs(s-ps)1e-4s=4*(-1)^(n-1)/(2*n-1)*[1/2^(2*n-1)+1/3^(2*n-1)]+s;n=n+1;ends,n计算结果为s=3.14156158n=73.s=3;n=1;ps=pi;whileabs(s-ps)1e-4s=(2*n-1)!!/[(2*n)!!*(2*n+1)*2^(2*n+1)]+s;n=n+1;8ends,n计算结果为s=3.14115n=44.s=1;n=1;whileabs(s)1e7s=1/[n*syms('n!')]+s;n=n+1;ends,n运行结果为s=2.7182818n=105.s=0;n=1;ps=ln2;whileabs(s-ps)1e-4s=1/[4*(2*n-1)*3^(2*n-1)]+s;n=n+1;ends,n计算结果为s=0.30103n=4