平面几何有关三角形五心的经典试题及证明

平面几何：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，故点M是△P′BP的外心，点N是△P′PC的外心.有∠BP′P=21∠BMP=21∠BAC，∠PP′C=21∠PNC=21∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.由于P′P平分∠BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=21∠O2O1K=21(∠O2O1S+∠SO1K)=21(∠O2O1S+∠PO1O2)=21∠PO1S=∠A；同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.ABCPPMN'ABCQKPOOO....S123二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′，D′，E′，F′.易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.(1)a2，b2，c2成等差数列△∽△′.若△ABC为正三角形，易证△∽△′.不妨设a≥b≥c，有CF=2222221cba，BE=2222221bac，AD=2222221acb.将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=a23，BE=b23，AD=c23.∴CF:BE:AD=a23:b23:c23=a:b:c.故有△∽△′.(2)△∽△′a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时，△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴SS'＝(aCF)2.AA'FF'GEE'D'C'PCBD据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有SS'=43.∴22aCF=433a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知13212sinHAAHA=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a，CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r.连HA1，AH交EF于M.A21A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2)，①又AM2-HM2=(21AH1)2-(AH-21AH1)2∥=∥=.OAAAA1234HH12HHHMABBAABCCCF12111222DE=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2，②而ABHAHsin=2RAH2=4R2cos2A,Aasin=2Ra2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.③由①、②、③有A21A=r2+bcacb2222·bc-(4R2-a2)=21(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，21BB=21(a2+b2+c2)-4R2+r2，21CC=21(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O1，O2，O3，O4.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=sinr.∵QK·AQ=MQ·QN，∴QK=AQQNMQ=sin/)2(rrrR=)2(sinrR.由Rt△EPQ知PQ=rsin.ABCDOOO234O1AααMBCKNEROQFrP∴PK=PQ+QK=rsin+)2(sinrR=R2sin.∴PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).∵p(p-c)=21(a+b+c)·21(a+b-c)=41[(a+b)2-c2]=21ab；(p-a)(p-b)=21(-a+b+c)·21(a-b+c)=41[c2-(a-b)2]=21ab.∴p(p-c)=(p-a)(p-b).①观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=21(a+b-c)=p-c.∴r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由①及图形易证.例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：11qr·22qr=qr.(IMO-12)分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知KrrrrOOO213AOECBabcOD=OA′·2'sinA=A′B′·'''sin2'sinBOAB·2'sinA=A′B′·2''sin2'sin2'sinBABA，O′E=A′B′·2''sin2'cos2'cosBABA.∴2'2''BtgAtgEOOD.亦即有11qr·22qr=2222BtgCNBtgCMAtgAtg=22BtgAtg=qr.六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有：BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一点两心.例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明A...'B'C'OO'EDErdos..IPABCDEFQSOE丄CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设CD交AM于G，G必为△ABC重心.连GE，MF，MF交DC于K.易证：DG:GK=31DC:(3121)DC=2:1.∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心.易证OE丄CD.例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.利用内心张角公式，有∠AIB=90°+21∠C=105°，∴∠DIE=360°-105°×3=45°.∵∠AKB=30°+21∠DAO=30°+21(∠BAC-∠BAO)=30°+21(∠BAC-60°)=21∠BAC=∠BAI=∠BEI.∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.求证：1·d垂+2·d外=3·d重.分析：这里用三角法.设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C.易知d外