平面向量基本定理及其坐标表示教案

最新考纲1.了解平面向量的基本定理.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考情播报1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点.2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主.1.平面向量基本定理(1)条件:e1,e2是同一平面内的两个不共线向量.结论:对于这一平面内任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.(2)关于平面向量基本定理的几点说明:①e1、e2为不共线向量,把它们叫做这一平面内所有向量的一组基底.②平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合③.基底不唯一,当基底给定时,分解形式唯一:λ1、λ2是被a、e1、e2唯一确定的数量.2.平面向量的正交分解与坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,因此把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.3.平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2);(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1);(3)若a=(x,y),则λa=(λx,λy);(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔；2121yy，xx(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.质疑探究:相等向量的坐标一定相同吗?相等向量起点和终点坐标可以不同吗?提示:一定相同.可以不同.例如A(3,5),B(6,8),AB=(3,3);C(-5,3),D(-2,6),CD=(3,3),显然AB=CD,但A、B、C、D四点坐标各不相同.考向一。平面向量基本定理及其应用【例1】如图所示,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若AM=λAB+μAC,则λ+μ=.思维导引:由于B、H、C三点共线,可用AB、AC来表示AH,从而求得AM与AB、AC的关系.解析:由B、H、C三点共线,可设BH=xHC(x0),∴AH-AB=x(AC-AH),AH=xx1AC+x11AB,又由M为AH的中点知AM=21AH=1)x21（AC+1)x21（AB,又∵AM=λAB+μAC,∴λ+μ=1)x21（+1)x21（=21.答案:21反思归纳：平面向量基本定理表明,平面内任意一个向量都可以用一组基底唯一表示,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算.一个结论：若A,B,C三点共线，则对于平面内的任意一点O，都有变式训练1如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．)1(OAOCOB解析设|BP→|＝y，|PN→|＝x，