学研教育—2016年浙江专升本高数曲线曲面积分的方法与技巧

学研教育—2016年浙江专升本高数曲线、曲面积分的方法与技巧1求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。例一．计算曲线积分Lxdyydx,其中L是圆)0(222yxyx上从原点)0,0(O到)0,2(A的一段弧。本题以下采用多种方法进行计算。解1：AO的方程为,2,2xxyxxL由,AOx由,20.212dxxxxdyLxdyydxdxxxxxxx2022]2)1(2[dxxxxxdxxxxxxxx20220222)1(2)1(220.00442分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解2：在弧AO上取)1,1(B点，BO的方程为,11,2yxyyL由,BOy由,10.12dyyydxAB的方程为,11,2yxyyL由,ABy由,01.12dyyydxLxdyydxdyyyydyyyy0122210222)111()111(学研教育—2016年浙江专升本高数曲线、曲面积分的方法与技巧2dyyy102212dyy10212dyyy10221210212yydyyy102212.0)011(2分析：解2是选用参变量为,y利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。不同的是以y为参数时，路径L不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。解3：AO的参数方程为,sin,cos1yxL由,ABO由,0.cos,sinddyddxLxdyydxd]cos)cos1(sin[02d]2coscos[0.0)2sin21sin(0解4：AO的极坐标方程为,cos2r因此参数方程为,cos2cos2rx,cossin2sinrdyL由,ABO由,02.)sin(cos2,cossin422ddyddxLxdyydxd)]sin(coscos4cossin8[2222022.0)2214342213(4]cos4cos3[44220d分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解5：添加辅助线段AO，利用格林公式求解。因,,xQyP,011yPxQ于是AOLDdxdyxdyydx,0而AOdxxdyydx02,00学研教育—2016年浙江专升本高数曲线、曲面积分的方法与技巧3故得LxdyydxAOL.0AO分析：在利用格林公式dxdyyPxQdyyxQdxyxPDL)(),(),(将所求曲线积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但QP,必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。L是D的正向边界曲线。解5中添加了辅助线段,AO使曲线AOL为正向封闭曲线。解6：由于,,xQyP,1yPxQ于是此积分与路径无关，故LxdyydxOAxdyydx.00)0,2()0,0(20dxxdyydx分析：由于QP,在闭区域D上应具有一阶连续偏导数，且在D内,yPxQ因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在L上的积分为在OA上积分，注意O点对应L的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。解7：由全微分公式),(xydxdyydxLxdyydx.0)()0,2()0,0()0,2()0,0(xyxyd分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。例二．计算曲线积分Cdzyxdyzxdxyz,)()()(其中C是曲线,2,122zyxyx从z轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针的。解1：设表示平面2zyx上以曲线L为边界的曲面，其中的正侧与L的正向一致，即是下侧曲面，在xoy面上的投影区域xyD：.122yx由斯托克斯公式Cdzyxdyzxdxyz)()()(yxzxyzzyxdxdydzdxdydz学研教育—2016年浙江专升本高数曲线、曲面积分的方法与技巧4xyDdxdydxdy.222解2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出Cdzyxdyzxdxyz)()()(dSyxzxyzzyxcoscoscos,)cos200(dS而平面：2zyx的法向量向下，故取},1,1,1{n,31cos于是上式.21)1(132321222dxdydSyx分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分计算的。在利用斯托克斯公式dzRQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydzL计算时首先应验证函数RQP,,在曲面连同边界L上具有一阶连续的偏导数，且L的正向与的侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设,cosx,siny则,sincos22yxz从.02Cdzyxdyzxdxyz)()()(cos)sin2cos2()sin)(cos2[(02d)]cos)(sinsin(cos202]2coscos2)cos(sin2[d.2]2cos1sin2[20d例三．计算,)2(22dszyx其中为曲线)2(.0)1(,2222zyxRzyx学研教育—2016年浙江专升本高数曲线、曲面积分的方法与技巧5解1：由于当积分变量zyx,,轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分与弧的方向无关，故有.3)(312222222dsRdszyxdszdsydsx由曲线是球面2222Rzyx上的大圆周曲线，其长为.2R故.34232)(3222RRRdsyx由于关于原点对称，由被积函数为奇函数，得.0dsz于是.34)2(322Rdszyx解2：利用在上，2222Rzyx，原式zdsdszdsRdszzzyx2)2(222222再由对称性可得RRdsz2322（同解1），于是上式.3402232322RRRRR分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中，当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采用此法进行计算常常是有效的。例四．求,22Lyxxdyydx其中L为椭圆曲线19)1(22yx上在上半平面内从)0,4()0,2(BA的弧。解：添加辅助线l为222yx的顺时针方向的上半圆周以及有向线段DBAC,，其中是足够小的正数，使曲线222yx包含在椭圆曲线19)1(22yx内。由于222222222)()()(yxyxyxyyyxxx，由格林公式，有.0DBlACL学研教育—2016年浙江专升本高数曲线、曲面积分的方法与技巧6设,cos,sinxy有lyxxdyydx22,cossin022222d再由,022ACyxxdyydx.022DByxxdyydx于是Lyxxdyydx22.22lyxxdyydx分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在)0,0(点附近,22yxyP22yxxQ无定义，于是采用在椭圆内部)0,0(附近挖去一个小圆，使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。例五．求八分之一的球面0,0,0,2222zyxRzyx的边界曲线的重心，设曲线的密度.1解：设边界曲线L在三个坐标面内的弧段分别为,,,321LLL则L的质量为.23423RRdsdsmLL设边界曲线L的重心为),,(zyx，则}0{11231LLLLxdsdsxdsmxdsmxdxxRxxmxdsmRL0222)(1221RxRmRdxxRRxmR02202222.34232222RRRmR由对称性可知.34Rzyx学研教育—2016年浙江专升本高数曲线、曲面积分的方法与技巧7分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。在计算上要注意将曲线L分成三个部分：,,0,0:221xRzRxyL,,0,0:222xRyRxzL.,0,0:223yRzRyxL另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可zyx简化计算。二.曲面积分的计算方法与技巧计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第一类曲面积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类曲面积分转化为求二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围区域上的三重积分等。例六．计算曲面积分,zdS其中为锥面22yxz在柱体xyx222内的部分。解：在xOy平面上的投影区域为:Dxyx222，曲面的方程为.),(,22Dyxyxz因此DyxDdxdyyxdxdyzzyxzdS.2)()(1222222对区域D作极坐标变换,sin,cosyrx则该变换将区域D变成),(r坐标系中的区域,cos20,22:),(rDr因此.932cos3822322cos20222ddrrddxdyyxD分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重积分计算的。“一投”是指将积分曲面投向使投影面积不为零的坐标面。“二代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三换”是指将dS换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素，即,)()(122dxdyyzxzdS或,)()(122dzdxzyxydS或.)()(122dxdzzxyxxdS上解中的投影区域在xOy平面上，因此用代换学研教育—2016年浙江专升本高数曲线、曲面积分的方法与技巧