平面解析几何(直线和圆的方程圆锥曲线)专题

()aex平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题17.0圆锥曲线几何性质如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或“离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹．简言之就是“e点点距点线距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时）．圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中cea，椭圆中21bea、双曲线中21bea.圆锥曲线的焦半径公式如下图：特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.17.1圆锥曲线中的精要结论：1.焦半径：(1)椭圆22221(0)xyabab：0201,exaPFexaPF；（左“+”右“-”）；椭圆22221(0)xyabba：2210002000()(0),()(0)aaPFexaexxPFexexaxcc(2)双曲线12222byax：2pd22bla22bla2bdc22bla2bdcaexaexaexaex()aex2px“长加短减”原则：aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221aexFMaexFM0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）双曲线22221xyba：1020MFeyaMFeya；1020MFeyaMFeya(2)抛物线：20pxPF2.弦长公式：]4))[(1(1212212122xxxxkxxkAB]4)[()11(11212212122yyyykyyk；【注】：(1)焦点弦长：i．椭圆：)(2||21xxeaAB；ii．抛物线：AB＝1222sinpxxp；(2)通径（最短弦）：i．椭圆、双曲线：22ba；ii．抛物线：2p.3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：122nymx（nm,同时大于0时表示椭圆，0mn时表示双曲线）；4.椭圆中的结论：(1)内接矩形最大面积：2ab；(2)P，Q为椭圆上任意两点，且OPOQ，则22221111||||OPOQab；(3)椭圆焦点三角形：i．122tan2PFFSb，（12FPF）；ii．点M是21FPF内心，PM交21FF于点N，则caMNPM||||；(4)当点P与椭圆短轴顶点重合时21PFF最大；(5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于0的参数，)0ba的离心率也是ace，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程．5.双曲线中的结论：(1)双曲线12222byax（0,0ab）的渐近线：02222byax；(2)共渐进线xaby的双曲线标准方程为(2222byax为参数，≠0）；(3)双曲线焦点三角形：i．2cot221bSFPF，（21PFF）；▲yxM'MF1F2▲yxM'MF1F2ii．P是双曲线22ax－22by=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为)(,aa；(4)等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy(渐近线互相垂直)，离心率2e．(5)共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax．(6)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线．2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax．(7)若P在双曲线12222byax，则常用结论1：P到焦点的距离为m=n，则P到两准线的距离比为m︰n．简证：ePFePFdd2121=nm．常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b．(8)直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线．小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条．若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号．6.抛物线中的结论：(1)抛物线22ypx(0)p的焦点弦AB性质：i．2124pxx；212yyp；ii．pBFAF2||1||1；iii．以AB为直径的圆与准线相切；iv．以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；v．sin22pSAOB.(2)抛物线22ypx(0)p内结直角三角形OAB的性质：i．2212214,4PyyPxx；ii．ABl恒过定点)0,2(p；iii．BA,中点轨迹方程：)2(2pxpy；iv．ABOM，则M轨迹方程为：222)(pypx；v．2min4)(pSAOB.(3)抛物线22ypx(0)p，对称轴上一定点)0,(aA，则：i．当0ap≤时，顶点到点A距离最小，最小值为a；▲yxF1F21234533ddd相离外切相交内切内含r1+r2r2-r1odii．当pa时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为22pap.17.2、两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0fxy,2(,)0fxy的交点的曲线系方程是12(,)(,)0fxyfxy(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk,其中22max{,}kab.当22min{,}kab时,表示椭圆；当2222min{,}max{,}abkab时,表示双曲线.17.3、圆1、圆系方程(1)过点11(,)Axy,22(,)Bxy的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx1212()()()()()0xxxxyyyyaxbyc,其中0axbyc是直线AB的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l:0AxByC与圆C:220xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0xyDxEyFAxByC,λ是待定的系数．(3)过圆1C:221110xyDxEyF与圆2C:222220xyDxEyF的交点的圆系方程是2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF,λ是待定的系数．特别地，当1时，2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF就是121212()()()0DDxEEyFF表示：①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；②向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴；2、点与圆的位置关系：点00(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则dr点P在圆外；dr点P在圆上；dr点P在圆内.3、直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种(22BACBbAad):0dr相离；0dr＝相切＝；0dr相交.4、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为12,OO半径分别为12,rr，dOO21124drr＋外离条公切线；123drr＝＋外切条公切线；12122rrdrr＋相交条公切线；121drr内切条公切线；120drr内含无公切线.5、圆的切线方程及切线长公式(1)已知圆220xyDxEyF．①若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022DxxEyyxxyyF.当00(,)xy圆外时,0000()()022DxxEyyxxyyF表示过两个切点的切点弦方程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定.②过圆外一点的切线方程可设为00()yykxx，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆222()()xaybr的切线方程．①若P(0x,0y)是圆222()()xaybr上的点，则过点P(0x,0y)的切线方程为200()()()()xaxaybybr.特别地，若0;0ab，切线方程为200xxyyr；若P(0x,0y)是圆222()()xaybr外一点，由P(0x,0y)向圆引两条切线，切点分别为A，B则直线AB的方程为200()()()()xaxaybybr.特别地，若0;0ab，200xxyyr②圆222xyr，斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.(3)过圆220xyDxEyF外一点00(,)xy的切线长为220000lxyDxEyF.17.4、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量1,uk或,umn；（2）给出OAOB与AB相交，等于已知OAOB过AB的中点；在ABC中，给出12ADABAC，则AD是ABC中BC边的中线；（3）给出0PMPN，等于已知P是MN的中点；（4）给出APAQBPBQ，等于已知,AB与PQ的中点三点共线；（5）给出以下情形之一：①||ABAC；②存在实数,ABAC使；③若存在实数,,1,且，OCOAOB使等于已知,,ABC三点共线.（6）给出1OAOBOP，等于已知P是AB的定比分点，为定比，即APPB（7）给出0MAMB，等于已知MAMB，即AMB是直角，给出0MAMBm，等于已知AMB是钝角，给出0MAMBm，等于已知AMB是锐角；（8）给出()MPMAMBMAMB，等于已知MP是AMB的平分线；（9）在平行四边形ABCD中，给出()()0ABADABAD，等于已知ABCD是菱形；（10）在平行四边形ABCD中，给出||||ABADABAD，等于已知ABCD是矩形；（11）设1122(,),(,)AxyBxy，12AOBABBASxyxy.222121||||sin||||()2ABCSABACAABACABAC；（12）O为ABC