安工大10-11高等代数2试卷(A)

学生姓名学号：_____________________密封线10-11学年第一学期安徽工业大学高等代数2期末考试试卷（A）题号一二三四总分123412得分一、填空题（每题3分共15分）1、已知C是实数域R上的线性空间，则dimC＝；2、已知三阶矩阵A的特征值分别为1，-1，2，矩阵235AAB，则B的特征值是-4,-6,-12；3、设V是由矩阵A的全体实系数多项式组成的线性空间，21000000Aww,其中132iw，则V的一组基E,A,A^2；4、设矩阵A的行列式因子为1,1,2)1(,则A的初等因子为1,1；5、已知A是一个正交矩阵，那么2A＝1.二、单项选择题（3分×5）（将每小题正确答案的序号，填在下表对应的方框中）题号12345得分答案1、设是n维欧氏空间V上的正交变换,以下说法错误的有（）个.①若n,,1是V的一组标准正交基,则)(,),(1n仍是标准正交基；②存在一组标准正交基,使得在这组基下的表示矩阵是正交阵；③若U是的不变子空间,则U也是的不变子空间；④在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.A0；B1；C2；D3.2、若A和B是n阶矩阵且其初等因子相同,则下列结论未必成立的是（D）.AA和B的不变因子相同；B存在可逆阵P使得P-1AP和P-1BP都是Jordan标准型；CA和B等价；DA=B.3、下列关于有限维空间V中线性变换T的说法中错误的是（B）A.T的值域与核都是T的不变子空间；B.T是单射当且仅当T是满射；C.T的值域与核的和等于V；D.T在两组不同基下的矩阵相似.4、下列关于数域P上线性空间说法错误的是（C）A．n维线性空间中n个线性无关向量一定为一组基；B．n维线性空间中n+1个向量线性相关；C．两个子空间的并还是子空间；D．两个维数相同的有限维空间同构.5、二次型323121232221321444)(),,(xxxxxxxxxaxxxf经非退化线性替换X=CY化为标准形213216),,(yyyyf，则a（）A.6；B.0；C.1；D.2.三、计算题（第1、4小题10分，2、3小题各15分）1、设,1,1,1,1,0,1,2,121TT,1,0,1,21TT7,3,1,12求：),(),();,(),(21212121LLLL的一组基和维数。2、已知矩阵,32020002,00010002相似bBaA1)求a，b的值；2)求可逆矩阵P，使P-1BP=A；3)求Bn.)2)()(1(00010002aaAEabaabaabbbbBE30)2(4)3)()(2(0)22(4)3)()(22(0)1(4)2()1()2(4)3)()(2(320200023、在4Rx中定义内为11,xfgfxgxd，求4Rx的一组由基1，23,,xxx出发得到的标准正交基.4、求矩阵A=340430241的特征值和特征向量.)1)(5)(5(25251616991616)9)(1()1(16)3)(3)(1(34043024123232AE矩阵A=340430241的特征值有1,5，-5；024,044,132321xxxx特征向量（1,0,0）048,0244,5323212xxxxx特征向量（2,1,2）042,0246,5323213xxxxx特征向量（1.-2.1）四、证明题（10分×2）1、设是线性空间V上的线性变换，如果01k，但0k，求证：)0(,,,1kk线性无关.此区域及以下部分不得做题，否则后果自负安徽工业大学高等代数2期末考试试卷2、f是n维欧氏空间V的对称变换(即f是V的线性变换,且对任意V,都有(f(),)=(,f())),证明:f的像子空间Imf是f的核子空间kerf的正交补子空间.