定积分的应用.

2012年12月27日南京航空航天大学理学院数学系1第3章一元函数积分学及其应用第1节定积分的概念，存在条件与性质第2节微积分基本公式与基本定理第3节两种基本积分法第4节定积分的应用第5节反常积分第6节几类简单的微分方程2利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用第4节定积分的应用3第4节定积分的应用4.1建立积分表达式的微元法4.2定积分在几何上的应用4.3定积分在物理上的应用4在第1节中，我们从3个实例引入了定积分的概念.这3个实例是：曲边梯形的面积定积分定义物质细棒的质量21()TTsvtdt变速直线运动中的位移0()lmxdx()baAfxdx51、什么问题可以用定积分解决?2、如何应用定积分解决问题?4.1建立积分表达式的微元法6表示为1、什么问题可以用定积分解决?1)所求量Q是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)Q对区间[a,b]具有可加性,即整体量=局部量之和即可通过“分割,近似代替,求和,取极限”定积分定义一个整体量;72、如何应用定积分解决问题?第一步利用“分割,近似代替”求出局部量的微分表达式d()dQfxx第二步利用“求和,取极限”求出整体量的积分表达式Q()dbafxx这种分析方法称为微元法(或微元分析法也称元素法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值84.2定积分在几何上的应用2、立体的体积1、平面图形的面积极坐标系参数方程直角坐标系旋转体平行截面面积已知的立体91、平面图形的面积xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(曲边梯形的面积badxxfxfA)]()([12(1)、直角坐标系情形xxxx.d)]()([d12xxfxfAxxxxfAd)(d:面积元素10xyoabxxxd()ygx()yfx|()()|baAfxgxdxd()()dAfxgxx11例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素dxxxdA)(2选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx12例2计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选为积分变量x]3,2[x],0,2[)1(x],3,0[)2(x326xxx236.xxxxxy632xy130322(6)xxxdxdxxxx)6(3230.122533322|6|Axxxdx注：2xyxxy63xy有时，将与交换角色，可将问题简化。14例3计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[ydyyydA242.1842dAAxy224xy15如果曲边梯形的曲边为参数方程],[,)()(21ttttytx曲边梯形的面积21()()d()().btbataAyxttdt在[1t,2t]上)(tx具有连续导数且0)('t，)(ty连续.（2）参数方程的情形17例4求椭圆12222byax的面积.解椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab当a=b时得圆面积公式18（3）极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.)(rxd在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为21d()d2A所求曲边扇形的面积为21()d2A19例5求双纽线2cos22ar所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAdaA2cos214402.2axy2cos22a1A20例6求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a.解利用对称性知dd2)cos1(02212aA22408cosdatt20a44cosd22t令28a34122232a21(１)旋转体的体积2、立体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台22xyoabxyoab)(xfy2[()]fxdxbaV绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有2)]([yyddcVxxoy)(yxcdydxx如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax[,]xxdx考虑（小圆柱体法）23ayxb例7计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则222202()dabaxxa(利用对称性)2232123baxxa0a243abo02aV2dyxx24方法2利用椭圆参数方程则202daVyx232sindabtt22ab23243ab1特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积.343a25例8求sin(0)yxx与0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.解绕x轴旋转的旋转体体积20()xVyxdx20sindxx21.2)(xy26绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.2120()yVxydy1120()xydy120(arcsin)dyy120(arcsin)dyy120(2arcsin)ydy22.)(xy1ABC)(2yxx)(1yxxo1()arcsinxyy2()arcsinxyysin(0)yxx27(),,yfxxaxbxy旋转体体积:与轴所围平面图形绕轴旋转一周所得的体积为()yfxabdxxfxVbay|)(|2-----小柱壳法利用这个公式，可知上例中02|()|yVxfxdx02sindxxx02[(cos)sin]xxx22.注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算28xoab（2）平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积29例9一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323RxyoRRx34yydyyySdcdycyyxyxdc所围面积与②曲线)(,,xgxfdxxgxfSbabxaxxgyxfyba所围面积与①曲线,,:1直角坐标系下1.面积（平面图形的面积）内容小结35所围面积rr2drs221（3）曲边梯形的曲边由参数方程给出36dxxyxVdxxyVbaybax)(2)(21(),,yfxxaxbxxy旋转体体积与轴所围平面图形分别绕轴和轴旋转一周所得的体积为2()(),()baAxaxbVAxdx平行截面面积可以求得的立体体积已知则立体体积为2.两种特殊立体的体积374.3定积分在物理上的应用1、变力作功2、液体静压力3、引力38由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为sFW.如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用积分元素法思想.1、变力作功39xabxdxx在其上所作的功元素为d()dWFxx(2)因此变力F(x)在区间上所作的功为问题物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从a点移动到b点，力的方向与运动方向平行,求变力所做的功。()bbaaWdwFxdx用微元法42例2试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解建立坐标系如图.oxm3xdxxm5在任一小区间[,d]xxx上的一薄层水的重力为g23dx这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为dW9gdxx故所求功为50W9gdxx9g22x112.5g(KJ)水密度为:kg/m3)g:重力加速度50(N)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,3462(KJ)水密度,标准状况下1000kg/m3452、液体静压力面积为A的平板设液体密度为深为h处的压强:gphh当平板与水面平行时,PpA当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••xdxxxyoab)(xf()bbaaPdPgxfxdx压强面积()dPgxfxdx例4一个底半径为R的横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水密度为水，求桶的一端面上所受的压力．小窄条上各点的压强xpg32g3R解建立坐标系如图.所论半圆的(0)xR利用对称性,压力元素0RP222gdxRxxoxyRxxxd222RxdPgx端面所受压力为dx方程为48质量分别为的质点,相距r,1m2mr二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线3、引力由物理学知道，其中k为引力系数如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算．49例5设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,M该棒对质点的引力.解建立坐标系如图.y2l2l[,]xxdx细棒上小段对质点的引力大小为dFkdmx22ax故垂直分力元素为ddcosyFFa22dmxkax22aax3222d()xkmaaxxox在试计算FdxFdyFdxxd50利用对称性232220d2()lyxFkmaax22220lxkmaaax22214kmlaal棒对质点引力的水平分力0.xF22214kmlFl故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为aa51y2l2laoxxxdx说明:2kma2)若考虑质点克服引力沿y轴从a处1)当细棒很长时,可视l为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b(ab)处时克服引力作的功,by22d24bayWkmlyyl22214kmll则有yy52loxyadcosFdyF3222d()xkmaaxdxF3222d()xxkmax32220d()lyxFkmaax32220d()lxxxFkmax引力大小为22xyFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFddsinF注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,53利用“积分元素法(微元法)”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题．（注意熟悉相