小学六年级求阴影部分面积试题和答案

一多元函数的极值和最值二条件极值拉格朗日乘数法三小结第七节多元函数的极值一无条件极值设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；1、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yxz例3处有极大值．在函数)0,0(22yxz例3处无极值．在函数)0,0(xyz定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.2、多元函数取得极值的条件不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意),(yx),(00yx都有),(yxf),(00yxf,证故当0yy，0xx时，有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx处有极大值,必有0),(00yxfx;类似地可证0),(00yxfy.推广：如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.驻点偏导数存在的函数的极值点注意：例如，点)0,0(是函数xyz的驻点，但),(00不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？;0)0,0(,xxzyz.0)0,0(,yyzxz定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx,0),(00yxfy，Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，令(1)02BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；(2)02BAC时没有极值；(3)02BAC时可能有极值,也可能没极值，需另作讨论.则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出所有驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.例4求函数4124184922yxyxyxf),(的极值。解,),(1818xyxfx.),(248yyxfy求解方程组：.,024801818yx得驻点.,31yx).,(31,),(1831xxf,),(031xyf.),(831yyf处,在驻点(1,3),),(01831xxfA,),(031xyfB.),(831yyfC08182BAC.4)3,1()3,1(f是极小值点，极小值因此，解：根据题意可知,每天总利润为二元函数:))(())((),(yxyyxxyxf768040457030.),(的最大值是求每天最大的总利润，就yxf一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁,当地牌子的进价每听30美分,外地牌子的进价每听40美分.店主估计,如果当地牌子每听卖美分,外地牌子每听卖美分,则每天可卖出听当地牌子果汁,听外地牌子果汁,问店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大利润?例5xyyx4570yx76803、多元函数最值问题应用024014100201010yxfyxfyx令5553yx,.,,141010yyxyxxfff在驻点（53，55）处，.),(,),(,),(145553105553105553yyxyxxfCfBfA得驻点).,(5553因为,0401401002ACB010A所以当,)(),(时美分美分5553yx小店可取得最大利润.多元函数最大最小值问题：1、若函数在某区域D上有最值，那么最值一定是在极值点或边界上取得。2、在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域D内部取到最值，而函数在D内又只有唯一的驻点，则可判定函数在该驻点即取得最值。与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数22yxz.)0,0(处取得极小值在处偏导数但函数在)0,0(不存在。无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.二条件极值拉格朗日乘数(Lagrange)条件极值：对自变量有附加条件的极值．无条件极值：对自变量除有定义域的限制外无任何其它条件限制的极值．无条件极值求法：可根据前面的方法求定义域上的极值．条件极值求法：无条件极值条件极值1、可化为无条件极值来计算.拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为某一常数，可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.2、应用拉格朗日乘数法来计算拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：0),,,(tzyx0),,,(tzyx下的极值，先构造函数),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx其中21,均为常数，可由偏导数为零及条件解出，tzyx,,,即得极值点的坐标.要找函数),,,(tzyxfu在条件比如:解0102402222yxyyFxxFyx则.),(小值约束条件下的最大与最在方程求函数122222yxyxyxf)(),(122222yxyxyxF构造拉格朗日函数，），（），（），（），（解得可能条件极值点为01,01,10,10例6,),(),(,),(),(1010121010ffff计算出.}/),{(12122222最小值为，所以所求得的最大值为上必有最值，在有界闭集由于连续函数yxyxyx例7要建造体积为32立方米的长方体无盖水箱,应如何选择水池的尺寸,用料最省？xyz解设水箱的长、宽、高分别是zyx、、22Sxyxzyz表面积约束条件：32xyz令：)(),,(3222xyzxyxyxyzyxF解方程组：,,20xFxyzyzyz,,20yFxyzxzxz,,220zFxyzxyxy32xyz故当长、宽、高分别取4米、4米、2米得：.,24zyx时,用料最省.例8小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效用函数为设每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最佳效果．xy.lnln),(yxyxu问题的实质：求在条件下的极值点．yxyxUlnln),(200108yx解令),(lnln),,(200108yxyxzyxF02001080101081yxFyFxFzyx则解得,.512x.10y所以依题意得,如果小孙买12张磁盘和10盒磁带时,小孙最满意.多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值三小结思考题若),(0yxf及),(0yxf在),(00yx点均取得极值，则),(yxf在点),(00yx是否也取得极值？思考题解答不是.例如22),(yxyxf,当0x时，2),0(yyf在)0,0(取极大值;当0y时，2)0,(xxf在)0,0(取极小值;但22),(yxyxf在)0,0(不取极值.一、填空题:1、函数)4)(6(),(22yyxxyxf在_______点取得极_________值为___________.2、函数xyz在附加条件1yx下的极______值为_____________.3、方程02642222zyxzyx所确定的函数),(yxfz的极大值是___________,极小值是_____________.二、在平面xoy上求一点,使它到0,0yx及0162yx三直线的距离平方之和为最小.三、求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.练习题五、将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.四、在第一卦限内作球面1222zyx的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求切点的坐标.一、1、(3,2),大,36；2、大,41；3、7,-1.二、)516,58(.三、当长,宽,高都是32a时,可得最大的体积.四、).31,31,31(练习题答案五、解得唯一驻点)2,4,6(，故最大值为.691224623maxu