大学物理,气体动理论14-06麦克斯韦气体分子速率分布律.

第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律114.6麦克斯韦速率分布律第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律2气体分子处在永不停息的无规则的运动中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变。大量分子整体：在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律——气体速率分布律。某个分子：其速度的大小和方向完全是偶然的。可以用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比来表示分子按速率的分布规律。第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律3分布的概念1）学生人数按成绩的分布（学生总人数为200人，以10分为一个分数区间）602080~71100~916520%10%5.32%10分数区间人数按分数的分布人数比率按分数的分布%5.224570~6190~8150%25NNN第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律42）伽尔顿板实验：大量小球按位置的分布。...................................................第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律53）气体分子按速率的分布（设总分子数为N，分子速率在0~∞都是可能的，以为一个分数区间）vvv~21~1N32~1~ii2NiNNN1NN2NNi速率区间分子数按速率的分布分子数比率按速率的分布第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律6气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学导出。由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到20世纪二十年代才实现。1920年斯特恩首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒和库士测出钍蒸汽分子的速率分布。斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。实验证实了麦克斯韦的分子按速率分布的统计规律。第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律7十九世纪英国最杰出的物理学家和数学家。麦克斯韦在法拉第等对电磁现象研究的基础上，建立了完整的电磁场基本理论，并由此预言了电磁波的存在，在麦克斯韦去世七年后，赫兹用电火花实验证实了电磁波的存在。此外麦克斯韦还运用数学统计的方法，导出了气体分子运动的速率分布统计规律。麦克斯韦（JamesClerkMaxwell1831-1879）第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律8实验装置一测定气体分子速率分布的实验llvv2lHg金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律9第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律10测量原理(1)能通过细槽到达检测器的分子所满足的条件LvvL(2)通过改变角速度ω的大小，选择速率v(3)通过细槽的宽度，选择不同的速率区间vv2L(4)沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率下的分子数。第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律11氧分子在273K时的速率分布速率区间(m/s)百分数实验数据实验结果：在确定实验条件下，分布在任一速率区间的分子数与总分子数的比值是确定的。100~200200~300300~400400~500500~600600~700700~800800~900900100＜＞20.6%1.4%8.1%16.5%21.4%15.1%9.2%4.8%2.0%0.9%第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律12分子速率分布图N：分子总数N为速率在区间的分子数。vvv)/(vNNovvvvS表示速率在区间的分子数占总数的百分比。NNSvvv第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律13NN与v有关，v有关，dvv速率间隔很小,该区间内分子数为dN，则：dvNdN)/(vNNovvvvS速率分布就是要指出，在v—v+dv区间的分子数dN占总分子数N的百分比是多少。这一百分比在各速率区间是不同的，它应是速率v的函数，同时还与区间大小dv成正比。d()NfvdvN第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律14d()NfvNdv——速率分布函数vvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNfv)(vfo表示在温度为的平衡状态下，速率在附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比。v物理意义T第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律15SfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数表示速率在区间的分子数占总分子数的百分比。vvvd1d)(d00vvfNNN归一化条件v)(vfovvvdSd第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律16v)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvvvvd)(dNfN速率位于内分子数vvvdvvvvd)(21fNN速率位于区间的分子数21vv21()dNSfNvvvv速率位于区间的分子数占总数的百分比21vv对单个分子用概率的观点来说。第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律17二麦克斯韦气体速率分布定律1860年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律。内容：在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间υ~υ+dυ的分子数占总分子数的比率为：vvvde)π2(π4d22232kTmkTmNN22232e)π2(π4)(vvvkTmkTmf麦氏分布函数反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律18说明:１）麦克斯韦速率分布律只适用于由大量分子组成的处于平衡态的气体，不能把它应用于少量分子组成的气体系统；从统计的概念来看，速率恰好等于某一值的分子数多少是没有意义的。２）在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率分布能很好的符合。vvNddNf)(v)(vfo22232e)π2(π4)(vvvkTmkTmf麦氏分布函数第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律19问题：试述气体分子速率分布函数的物理意义，请在以下四种表述中选出正确表述：1）气体分子处于单位速率间隔的分子数与分子总数N的比值；2）气体分子处于速率附近速率间隔内的分子数与总分子数的比值；3）平衡状态下，气体分子处于速率率间隔内的概率；4）平衡状态下，气体分子处于速率附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的百分比。第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律20三三种统计速率pv1）最概然速率0d)(dpvvvvfmkTmkT41.12pvMRT41.1pvkNRmNMAA,v)(vfopvmaxf根据分布函数求得：气体在一定温度下分布在最概然速率附近单位速率间隔内的相对分子数最多。pv物理意义第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律21同一温度下不同气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo同种气体分子在不同温度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfop22kTRTmMv第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律22vvd)(dNfN速率位于内分子数:vvvd2）平均速率vd()dNNfvvvv全速率区间分子的速率之和:0()dNfvvv0()dNfNvvvv08()dπkTfmvvv该区间分子的速率之和:dvv)(vfoMRTmkT60.160.1v第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律233）方均根速率2vmkTv32v)(vfoNvvNfvNNvvN02022d)(d2pvvvMRTmkT332rmsvvMRTmkT60.160.1vMRTmkT22pv第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律24Tpvv2vf(v)vO,2pmkTv,π8mkTvmkTv32三种速率的比较：三种速率应用场合不同：在讨论速率分布时，用最可几速率；在讨论分子碰撞时，用平均速率；在计算分子的平均平动动能时，用方均根速率。都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规律。第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律25讨论麦克斯韦速率分布中最概然速率的概念下面哪种表述正确？（A）是气体分子中大部分分子所具有的速率。（B）是速率最大的速度值。（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值。（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大。pvpvpvpv第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律26请说明下列各量的物理意义：dvvf)()1dvvNf)()2)()421vvdvvf21)()5vvdvvNfdvvnf)()3)()60dvvf)()702dvvfv第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律27——分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。——单位体积内分子速率分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。()NfvdvdN()NdNdNnfvdvVNV——分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数占总分子数的比率。()dNfvdvN请说明下列各量的物理意义：第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律282211()()()vNvvNvdNNfvdvNN——分布在有限速率区间v1~v2内的分子数占总分子数的比率。2211()()()vNvvNvNfvdvdN——分布在有限速率区间v1~v2内的分子数。0()1fvdv——分布在0～∞速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）220()vfvdvv——v2的平均值。第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律29哪一种解法对？;ddddd)(21212121vvvvvvvvvNNvvvNNvvvvf求：速率在v1~v2之间的分子的平均速率。212121vvvvvvdvvfdvvvfv)()(~2121vvvvdvvvfv)(~第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律30vvvvpd)(Nf1）pd)(212vvvvNfm2）例：已知分子数，分子质量，分布函数求：1）速率在间的分子数；2）速率在间所有分子动能之和。vv~p)(vfNm~pvvvd)(dNfN速率在间的分子数vvvd第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律31例：计算在时，氢气和氧气分子的方均根速率。rmsvC271Hmolkg002.0M1Omolkg032.0M11molKJ31.8RK300TMRT3rmsv13rmssm1093.1v氢气分子1rmssm483v氧气分子第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律32例如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率。vv~)(fmkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律33例：有N个粒子，其速率分布函数为：00000202)(0vvvvvvvvvvafa求：1）作速率分布曲线并求常数a。2）速率大于v0和小于v0的分子数。解：032va12100aavv1)由归一化条件得1dd000200vvvvvvvaa0va)(vf02vvO第14章气体动理论14.6麦克斯韦速率分布律34因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子数与总分子数的比率，所以：323200vv因此，vv0的分子数为(2N/3)同理，vv0的分子数为(N/3)a0vNNNN320vv的分子数与总分子数的比率为：0v