大学物理刚体力学.

12一、刚体的平动和转动平动：在运动中,刚体任意两点的连线始终保持平行。AAABBB刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体.各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。第二章刚体力学3转动：对点、对轴定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在转轴上。转轴OO刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动45转动平面转轴参考方向PX各质元的线量(速度、加速度)一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。二、定轴转动的角量描述QPXX6角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。rv加速转动、方向一致减速转动、方向相反dtd22dtddtddtd2nvRaRaR7比较：221mvEk一、刚体的转动动能222ki2121Eiiiirmvm221JEk2222221)(21)21(JrmrmEiiiiik刚体对给定轴的转动惯量(momentofinertia)iiirmJ)(28质量连续分布的刚体，转动惯量:r：质元到转轴的距离。二、转动惯量dmrJ2与转动惯量有关的因素：•刚体的质量•质量的分布•转轴的位置iiirmJ)(29dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布:质量线密度:质量面密度:质量体密度。dmrJ2101.将一个生蛋和一个熟蛋放在桌上旋转，就可以判断哪个是生的，哪个是熟的，为什么？2.为何大的飞轮中间部分是空的？11练习1.由长l的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于纸面的轴的转动惯量121、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：细圆环dmdlRdl22CLJRdmRdl2222LRdlRRmR又解:222mRdmRdmRJJ是可加的，若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。13例2求质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,dVdmdrlrdmrdJ322340122RJdJlrdrRl转动惯量与l无关。实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。2221mRJlRmlrdr2ZOrdr14注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。r1r2m1m2z练习：质量为m2，半径为r2的圆盘上挖去一个质量为m1，半径为r1的圆盘，求剩下部分对转轴的转动惯量。15例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标122222/mLdxxJLLC3202/mLdxxJLAxdxdm=dxdmrJ216前例中JC:过质心的轴的转动惯量，JA:过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。222231411212mLmLmLLmJJCA＋＝任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J：J＝JC＋md2平行轴定理：17右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R、球对任一直径的转动惯量：）2131LmJLL252RmJoo2002002)(RLmJdmJJL2225231)(RLmRmLmJooLLmOm18计算：球体的转动惯量191对轴的力矩方向垂直于轴，在定轴问题中，不影响物体绕轴转动状态。方向平行于轴，改变物体绕轴转动状态，称为力对轴的矩。三、转动定律20注意:力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。矢量和代数和21iiiiamfFiiiiiiamfFsinsin2sinsiniiiiiiiirmrfrFiiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合的外力矩0iifiFiimZir将切向分量式两边同乘以,irJJMiiirmJ)(2JM2.转动定律22m:反映质点的平动惯性J:反映刚体的转动惯性JM与地位相当amFJMJM刚体定轴转动的转动定律23转动定律应用举例例1一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。绳轮间无相对滑动，绳不可伸长。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。·Rhmv0=024MmmghRRv241242Mmmghahv2magMm解得：解：:mmgTmaaR212MTRJJMR：＝＝·RGTNmgmaTT-T25例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求闸瓦对轮子的压力N为多大？F026解：飞轮制动时有角加速度t020rad/s9.20s50rad/s7.104min/r1000t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。2mRJNRRfMr＝2mRNR1802625.mRNN0Nfr27例3、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，该质量元的重力对轴的元力矩为OgdmdmldldlglgdmldMcoscos28重力对整个棒的合力矩为coscosmgLgL2122LgmLmgLJM2331212coscosLdlgldMM0cos＝OgdmdmldldlglgdmldMcoscos代入转动定律，可得29ddtdddd00ddLg2cos3Lgsin3dtddd30四、力矩的功MdrdFdsFrdFdW式中cosFFrFM21MdW力矩做功是力做功的角量表达式.FrPOdrdZ力矩的瞬时功率MdtdWptdMd31五、刚体定轴转动的动能定理ddddMJJJJdtddtd2121dJdM21222121JJ合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理21222121JJW32cos21mgLM＝代入0cos21dmgL22121JmgLsinLgJmgLsinsin3231mLJ上面例题3求角速度的方法二:用动能定理解dM2121222121JJ21222121JJiiiiphmgghmE刚体的重力势能是它的各个质元的重力势能之和.mhmmgEiipCpmghEmhmhiicCChimPOihh1、刚体的重力势能五、刚体的机械能守恒定律34若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.常量CmghJE2212、机械能守恒定律CpmghE结论：计算刚体的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）。35tddLgsin32dtdLgdtcos3d2Lg2cos3上面例题3求角速度的方法三:用机械能守恒定律解mg21sin22LJ3singL36一、刚体对轴的角动量2iiirmLziiiiizJrmLL2zzJLooLrmvPoXvZ刚体对轴的角动量：二、刚体对轴的角动量定理zzdLMdtoodLMdt()zdJdtzdJdtzzMJzJPoXvZ角动量定理的微分形式：zzdLMdtzzMdtdL或38122121JJLddtMLLtt冲量矩,又叫角冲量.若J可以改变,则11222121JJLddtMLLttzzMdtdL角动量定理的积分形式：39二、角动量守恒定律及其应用0M1122JJJ或常矢量角动量守恒定律的两种情况：1、转动惯量保持不变的单个刚体。1212,0则时，当JJM112221JJdtMtt402、转动惯量可变的物体。.保持不变就增大，从而减小时，当就减小；增大时，当JJJFF41实际中的一些现象4244问题？1.设想地球的自转角动量和公转角动量均不守恒，会出现什么情况？2.举例：合力为0，合力矩不为0，则动量守恒，角动量不守恒；合力矩为0，合力不为0，则角动量守恒，动量不守恒。45例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：Jdtflldtf因,由两式得v0vmM46v0vmM请问:1.子弹和棒的总动量守恒吗?为什么?2.总角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写?例2、如图示已知：RM=2m，h，=60°求：碰撞后瞬间盘的P转到x轴时盘的解：m下落：mghmv122vgh2(1)???0碰撞t极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：JMRmRmR122222(3)对m+M+地球系统，只有重力做功，E守恒，则：1mgRJJosin12222(5))2(cos0JmvR)4(cos)3)(2)(1(220Rgh得：由令P、X重合时0pE由(3)(4)(5)得：ghRgR222cossin12243RghR.()()60o222MmgRgJmRR,501.银河系为何成盘状结构?2.质点力学和刚体力学有关公式的类比。