局部调整法解决数学竞赛题的策略

1数学竞赛中的局部调整策略郑日锋（浙江省杭州学军中学310012）（本文发表于《中等数学》2004年第4期）局部调整法，就是为了解决某个问题，从与问题有实质联系的较宽要求开始，然后充分利用已获得的结果作为基础，逐步加强要求，逐步逼近目标，直至最后彻底解决问题的一种解题方法。这种方法在解决数学竞赛问题中有着广泛的应用，本文举例阐述应用这种方法解题的基本策略。例1已知锐角三角形ABC中，.CBA在ABC的内部（包括边界）上找一点P，使得P到三边的距离之和最小。分析先对P在ABC边界上时，研究点P在什么位置时，P到三边距离之和最小，然后再对P在ABC的内部时进行研究。解（一）先研究P在ABC的边界上时（1）若P在边BC上如图1，记ABC的顶点CBA,,对应的边分别是cba,,，边cba,,上的高分别为cbahhh,,，P到边bc,的距离分别为yx,，连PA。cbahhhcbaCBA,,由面积关系得bybxbyxchbb2121212121，0(xyxhb当时取等号）。即P在点B处时，P到三边距离之和最小。（2）若P在边AC上，P在点A处时，P到三边距离之和最小。（3）若P在边AB上，P在点A处时，P到三边距离之和最小。综合（1），（2），（3），当点P在点A处时，P到三边距离之和最小。（二）再研究P在ABC内部时如图2，过P作BC的平行线交AB于E，交ACABCEPFHxyahzG图2ABCPxybh图12于F，固定x，由（一）知，.EHEGzyx让x变化，有ahEHEG，ahzyx.综合（一）（二）知，当点P在A处时，zyx最小。评注本题先对P在边界上进行调整，获得问题的局部解决。经过若干次这样的局部调整，逐步逼近目标，最终得到问题的整体解决。例2已知正实数nxxx,,,21，满足121nxxx，求证：111111121nxnxnxn.分析从特殊情形入手，121nxxx时不等式成立，然后研究一般情况，通过局部调整解决问题。证明当121nxxx时不等式成立。当nxxx,,,21中不全为1时，其中必有一个属于（0，1），一个属于),1(，据对称性，不妨设nnxxxxx211,10.（1）若1111111nxnxnn,121111111111112132nnnnnxnxnxnnn个111111121nxnxnxn。（2）若1111111nxnxnn，即21)1(nxxn3作第一次调整：令)12(,,1/1//1njxxxxxxjjnn下证nxnxnxn11111121//2/1111111nxnxnxn.即证nnxxnnxnxn11111111111①.令xnxf11)(,则))(1()1()1(21111)()(2zynyznzynznynzfyf.记//1212)1()1(nnxxnxxnb，))(1(1nxxnm，))(1(//1/nxxnm11),1(2),1)(1(1ncnaxxnn，①的左边=,)()(1mbcmaxfxfn右边=,)()(////1mbcmaxfxfn0)1)(1)(1()1)(1(111/nnnxxnxxxxnmm，mm/。①])1[(11)1(20))((12///nxxnnnbcammbcambcmambcma212121)1(,)1(.)1(nxxnxxnxxnnn成立。nxnxnxn11111121//2/1111111nxnxnxn=//211111nxnxnn，其中.1//3/2nxxx再继续调整，可得nxnxnxn111111211111个nnnn.4评注本题调整的目的是逐步将求证不等式左边各项变为n1，应注意每次调整应使各变量的积为1，而且放大。例3在1，2，3，…，1989每个数前添上”号”或““，使其代数和为最小的非负数，并写出算式（全俄1998年数学竞赛题）解先证其代数和为奇数。从简单情形考虑：全添上“+”，此时1989995198921是奇数。对一般情况，只要将若干个“+”调整为”即可“。baba与奇偶性相同，故每次调整，其代数和的奇偶性不变，即总和为奇数。而1)1989198819871986()9876()5432(1，因此这个最小值是1。评注在不断调整，变化过程中，挖掘不变量（或不变性质）使问题迎刃而解。例4空间有2003个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形，问要使这种三角形的总数为最大，各组的点数应为多少？分析设分成的30组的点数分别是3021,,,nnn，其中)30,,2,1(ini互不相等，则满足题设的三角形的总数为kjkjiinnnS301。问题转化为在,20033021nnn其中)30,,2,1(ini为互不相等的正整数的条件下，求S的最大值。解设分成的30组的点数分别是3021,,,nnn，其中)30,,2,1(ini互不相等，则满足题设的三角形的总数为kjkjiinnnS301。由对称性，不妨设3021nnn，（1）在3021,,,nnn中，让21,nn变化，其余各组的点数不变，因为21nn的值不变，注意到kjkjiikkjjkknnnnnnnnnnS3033032303121)(①，要使S的值最大，只需21nn5的值最大。如果312nn，令11/1nn，,12/2nn则21/2/1nnnn，21122121/2/11)1)(1(nnnnnnnnnn，S的值变大。因此要使S的值最大，对任何291i都有21iinn。（2）若3021,,,nnn中，使21iinn（291i）的i的值不少于2个，不妨设2,2,29111jjiinnnnji。类似（1），令1,11/1/jjiinnnn，其余各组的点数不变，则S的值变大。因此要使S的值最大，至多有一个i使21iinn。（3）若对任何291i，11iinn。设这30组的点数分别是,13,14mm15,m，则20031530m，这是不可能的。综上，要使S的值最大，对任何291i在iinn1中恰有一个为2，其余均为1。设这30组的点数分别是30,,1,1,,1,mtmtmmm（)291t，则2003)30()1()1()1(mtmtmmm，即200346530tm，解得.22,52tm所以当分成的30组的点数分别是52，53，…，73，75，…，82时，能使三角形的总数最大。评注解决本题的关键是把多元函数S视为二元函数，通过调整两个变量的取值，使S的值最大，最终获得问题的解决。以上例题说明，局部调整法解决数学问题的本质就是从问题的特殊情况入手，寻求问题的局部解决，通过逐步调整，获得问题的全部解决，体现了从特殊到一般的思想。在解决多元极值问题、多元不等式的证明及操作性问题时常用.以下问题供读者练习:1.求和为2003的正整数之积的最大值。（答案：66732）2．设DCBA,,,为空间四点，连线段CDBDBCADACAB,,,,,中至多有一条长度大于1，6试求这6条线段长度之和的最大值。（1985年美国数学竞赛题）（答案：35）