金融工程学第2章无套利定价原理

金融工程学第2章无套利定价原理第1章无套利定价原理1、什么是套利？商业贸易中的“套利”行为？例如1：一个贸易公司在与生产商甲签订一笔买进10吨铜合同的同时，与需求商乙签订一笔卖出10吨铜合同：即贸易公司与生产商甲约定以15,000元/吨的价格从甲那里买进10吨铜，同时与需求商乙约定把这买进的10吨铜以17,000元/吨的价格卖给乙，并且交货时间相同。这样，1吨铜赚取差价2,0002元/吨。这是套利行为吗？金融市场中的套利行为金融市场的独特性使得影响套利的这些条件大大地减弱。（1）专业化交易市场（2）电子化、无形化、数字化（3）卖空机制可能大大增加了套利机会（4）在时间和空间上的多样性也使得套利更便捷金牛能源与转债之间套利的例子转股价10.81元，100元转9.2507股,134.6元3月和12月人民币远期结售汇3个月NDF和人民币远期结售汇报价比较3M合约存在的套利机会无风险套利的定义在金融理论中，套利指一个能产生无风险盈利交易策略。这种套利是指纯粹的无风险套利。但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生很低风险的盈利策略，即可能会承担一定的低风险。无套利定价原理*金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快速。这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中。*因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无风险套利机会，这就是“无风险套利定价”原理或者简称为“无套利定价”原理。*什么情况下市场不存在套利机会呢？我们先看一下无风险套利机会存在的等价条件：无风险套利机会存在的等价条件（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；在这里，可以简单把损益理解成是现金流。如果现金流是确定的，则相同的损益指相同的现金流。如果现金流是不确定的，即未来存在多种可能性（或者说存在多种状态），则相同的损益指在相同状态下现金流是一样的。（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的损益。（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。无套利机会的等价性推论（1）同损益同价格：如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。（2）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的“复制组合”（replicatingportfolio）。（3）动态组合复制定价：如果一个自融资（selfself-financing）交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称动态套期保值策略（dynamichedgingstrategystrategy）。所谓自融资交易策略简单地说，就是交易策略所产生的资产组合的价值变化完全是由于交易的盈亏引起的，而不是另外增加现金投入或现金取出。一个简单的例子就是购买并持有(buyandhold)策略。确定状态下无套利定价原理的应用1、同损益同价格（例子2）假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？（1）按照无套利定价原理，债券B与债券A具有一样的损益（现金流），所以债券B的合理价格也应该为98元。（2）当债券B的价格为97.5元时，说明债券B的价值被市场低估了。那么债券B与债券A之间存在套利机会。实现套利的方法很简单，买进价值低估的资产-债券B，卖出价值高估的资产-债券A。所以，套利的策略就是：卖空债券A，获得98元，用其中的97.5元买进债券B，这样套利的盈利为0.5元。因为，在1年后到期日，债券B的面值刚好用于支付卖空债券A的面值。2、静态组合复制定价（例子3）假设3种零息票的债券面值都为100元，它们的当前市场价格分别为：①11年后到期的零息票债券的当前价格为98元；②22年后到期的零息票债券的当前价格为96元；③33年后到期的零息票债券的当前价格为93元；并假设不考虑交易成本和违约。问题：（1）如果息票率为）10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格应该为多少？（2）如果息票率为）10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格为120元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？对于第一个问题，我们只要按照无套利定价原理的推论（2），去构造一个“复制组合”就可以了。先看一个息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券的损益情况。面值为100元，息票率为10％，所以在第1年末、第2年末和第3年末的利息为100×10％＝10元，在第3年末另外还支付本金面值100元。如图所示：构造相同损益的复制组合为：（1）购买0.1张的1年后到期的零息票债券，其损益刚好为100×0.1＝10元；（2）购买0.1张的2年后到期的零息票债券，其损益刚好为100×0.1＝10元；（3）购买1.1张的3年后到期的零息票债券，其损益刚好为100×1.1＝110元；所以上面的复制组合的损益就与图所示的损益一样，因此根据无套利定价原理的推论（2），具有相同损益，情况下证券的价格就是复制组合的价格，所以息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券的当前价格应该为：0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝121.7对于第二个问题，其原理与例子2类似，债券A的当前价格为120元，小于应该价格121.7元，因此根据无套利定价原理，存在套利机会。当前市场价格为120元，而无套利定价的价格为121.7元，所以市场低估了这个债券的价值，应该买进这个债券，然后卖空复制组合。即基本的套利策略为：（1）买进1张息票率为10％，1年支付1次利息的三年后到期的债券A；（2）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券；（3）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券；（4）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券；3、动态组合复制定价（例子4）假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为98元。从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格也为98元。并且假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为多少呢？（2）如果现在开始2年后到期的零息票债券价格为97元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？与例子3不同的是，在这个例子中我们不能简单地在当前时刻就构造好一个复制组合，而必须进行动态地交易来构造复制组合。我们要运用无套利定价原理的第三个推论。现在看一下如何进行动态地构造套利组合呢？按照无套利定价原理的第三个推论，自融资交易策略的损益等同于一个证券的损益时，这个证券的价格就等于自融资交易策略的成本。这个自融资交易策略就是：（1）先在当前购买0.98份的债券Z0×1；（2）在第1年末0.98份债券Z0×1到期，获得0.98×100＝98元；（3）在第1年末再用获得的98元去购买1份债券Z1×2；这个自融资交易策略的成本为：98×0.98＝96.04如果现在开始2年后到期的零息票债券价为97元，则存在套利机会。如何套利呢？按照我们前面的思路，市场高估了现在开始2年后到期的零息票债券价值，则考虑卖空它，并利用自融资交易策略进行套利。构造的套利策略如下：（1）卖空1份Z0×2债券，获得97元，所承担的义务是在2年后支付100元；（2）在获得的97元中取出96.04元，购买0.98份Z0×1；（3）购买的1年期零息票债券到期，在第一年末获得98元；（4）再在第1年末用获得的98元购买1份第2年末到期的1年期零息票债券；（5）在第2年末，零息票债券到期获得100元，用于支付步骤（1）卖空1份Z0×2债券的100元；套利策略获得盈利：97––96.04＝0.96元具体的现金流情况。存在交易成本时的无套利定价原理当存在这些交易成本时，上面的无套利定价原理的几个推论就可能不再适用了。因为存在交易成本，那么所构造的套利策略也就不一定能盈利。因为，通过套利策略获得的盈利可能还不够支付交易成本。所以，无套利定价原理这时候就不能给出金融产品的确切价格，但可以给出一个产品的价格区间，或者说价格的上限和下限。例子5假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设购买债券不需要费用和不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，并且出售债券也需要支付1元的费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？按照无套利定价原理，在没有交易成本时，B的合理价格为98元。不管大于或小于98元，都存在套利机会。如果卖空和出售债券需要费用，那么是否价格不等于98元，就存在套利呢？比如，债券B的当前价格为97.5元，按照前面的套利思路为：（1）卖空债券A，获得98-1=97元（由于卖空A需要1元的费用）；（2）虽然债券B只有97.5元，但是97元还不够用于买进债券B；因此，在卖空和出售债券需要1元费用情况下，债券B的合理价格区间为：[97,99]。当债券B低于下限97元时，可以通过卖空债券A，买进债券B赢利；当债券B高于上限99元时，可以通过卖空债券B，买进债券A赢利。因为债券B的当前价格是97.5元，落在此区间内，将无法使用套利策略获得盈利虽然如果债券B的价格落在[97,99]内，它们将无法获得套利机会，但是实际上，当债券B的价格小于债券A的价格，投资者会倾向于购买债券B；反之则购买债券A。因此，事实上，债券B会接近于债券A的价格。也许你会问：为什么并没有用到出售债券也需要支付1元的费用这个条件？如果不考虑出售债券也需要支付1元的费用的条件，结果会怎样？案例6假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，出售债券也需要支付1元的费用，买入1份债券需要0.5元费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？因此，债券B的市场价格区间为[96.5,99.5]，在此区间范围内不存在赢利的套利策略。当债券B的当前价格只有97.5元，不存在套利机会。但是实际上，当债券B的价格小于债券A的价格，投资者会倾向于购买债券B；反之则购买债券A。因此，事实上，债券B会接近于债券A的价格。对于存在交易成本的无套利定价原理总结如下：（1）存在交易成本时，无套利定价原理可能无法给出确切的价格，但可以给出价格区间；（2）存在交易成本时的价格区间为：先不考虑交易成本，根据无套利定价原理计算出理论价格，然后再根据此价格减去最小总交易成本确定为下限价格，此价格加上最小总交易成本为上限价格。不确定状态下无套利定价原理的例子在上一节债券案例中，未来的损益（现金流）都是在当前就确定的，但实际市场中很多产品的未来损益是不确定的，要根据未来的事件而确定。比如，一个股票看涨期权，当到期日股票价格大于执行价格时，这个期权可获得正的损益，为到期日股票价格减去执行价格；但是，如果到期日股票价格小于等于执行价格，则这个期权到期日损益为零，即没有价值。因此，期权的损益是不确定的，它依赖于未来的股票价格。下面讨论这种未来损益不确定情况下的无套利定价原理。1、同损益同价格（例子7）假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的