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1学案19三角函数的图象与性质导学目标:1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间-π2,π2内的单调性.自主梳理1.三角函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域值域周期性奇偶性单调性在______________________上增,在__________________________________上减在__________________________上增,在______________________________上减在定义域的每一个区间________________________________内是增函数2.正弦函数y=sinx当x=____________________________________时,取最大值1;当x=____________________________________时,取最小值-1.3.余弦函数y=cosx当x=__________________________时,取最大值1;当x=__________________________时,取最小值-1.4.y=sinx、y=cosx、y=tanx的对称中心分别为____________、___________、______________.5.y=sinx、y=cosx的对称轴分别为______________和____________,y=tanx没有对称轴.自我检测1.(2010·十堰月考)函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A0,ω0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω为()A.1B.2C.3D.42.函数y=sin2x+π3图象的对称轴方程可能是()2A.x=-π6B.x=-π12C.x=π6D.x=π123.(2010·湖北)函数f(x)=3sinx2-π4,x∈R的最小正周期为()A.π2B.πC.2πD.4π4.(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x的最小正周期为()A.4πB.3πC.2πD.π5.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2探究点一求三角函数的定义域例1(2011·衡水月考)求函数y=2+log12x+tanx的定义域.变式迁移1函数y=1-2cosx+lg(2sinx-1)的定义域为________________________.探究点二三角函数的单调性例2求函数y=2sinπ4-x的单调区间.变式迁移2(2011·南平月考)(1)求函数y=sinπ3-2x,x∈[-π,π]的单调递减区间;(2)求函数y=3tanπ6-x4的周期及单调区间.探究点三三角函数的值域与最值例3已知函数f(x)=2asin(2x-π3)+b的定义域为[0,π2],函数的最大值为1,最3小值为-5,求a和b的值.变式迁移3设函数f(x)=acosx+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=bsin(ax+π3)的周期.转化与化归思想的应用例(12分)求下列函数的值域:(1)y=-2sin2x+2cosx+2;(2)y=3cosx-3sinx,x∈[0,π2];(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.【答题模板】解(1)y=-2sin2x+2cosx+2=2cos2x+2cosx=2(cosx+12)2-12,cosx∈[-1,1].当cosx=1时,ymax=4,当cosx=-12时,ymin=-12,故函数值域为[-12,4].[4分](2)y=3cosx-3sinx=23cos(x+π6)∵x∈[0,π2],∴π6≤x+π6≤2π3,∵y=cosx在[π6,2π3]上单调递减,∴-12≤cos(x+π6)≤32∴-3≤y≤3,故函数值域为[-3,3].[8分](3)令t=sinx+cosx,则sinxcosx=t2-12,且|t|≤2.∴y=t+t2-12=12(t+1)2-1,∴当t=-1时,ymin=-1;当t=2时,ymax=12+2.∴函数值域为[-1,12+2].[12分]【突破思维障碍】1.对于形如f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[a,b]的函数在求值域时,需先确定ωx+φ的范围,再求值域.同时,对于形如y=asinωx+bcosωx+c的函数,可借助辅助角公式,将函数化为y=a2+b2sin(ωx+φ)+c的形式,从而求得函数的最值.42.关于y=acos2x+bcosx+c(或y=asin2x+bsinx+c)型或可以为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题.提醒:不论用什么方法,切忌忽略函数的定义域.1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础,三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组).2.三角函数的值域问题,实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题.3.函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体,利用y=sinx的单调区间来求.(满分:75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2011·黄山月考)已知函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为[-1,12],则b-a的值不可能是()A.π3B.2π3C.πD.4π32.(2010·安徽6校高三联考)已知函数y=tanωx(ω0)与直线y=a相交于A、B两点,且|AB|最小值为π,则函数f(x)=3sinωx-cosωx的单调增区间是()A.2kπ-π6,2kπ+π6(k∈Z)B.2kπ-π3,2kπ+2π3(k∈Z)C.2kπ-2π3,2kπ+π3(k∈Z)D.2kπ-π6,2kπ+5π6(k∈Z)3.函数f(x)=tanωx(ω0)的图象的相邻的两支截直线y=π4所得线段长为π4,则fπ4的值是()A.0B.1C.-1D.π44.函数y=-xcosx的部分图象是图中()55.(2011·三明模拟)若函数y=sinx+f(x)在[-π4,3π4]上单调递增,则函数f(x)可以是()A.1B.cosxC.sinxD.-cosx题号12345答案二、填空题(每小题4分,共12分)6.设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是π8,则f(x)的最小正周期是________.7.函数f(x)=2sinx4对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为________.8.(2010·江苏)定义在区间0,π2上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为________.三、解答题(共38分)9.(12分)(2011·厦门月考)已知函数f(x)=2cos4x-3cos2x+1cos2x,求它的定义域和值域,并判断它的奇偶性.10.(12分)(2010·福建改编)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)+a(ω0)与g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)当x∈[0,π2]时,f(x)的最小值为-2,求a的值.11.(14分)(2010·安徽合肥高三二模)已知向量a=(sinx,23sinx),b=(2cosx,sinx),定义f(x)=a·b-3.(1)求函数y=f(x),x∈R的单调递减区间;(2)若函数y=f(x+θ)(0θπ2)为偶函数,求θ的值.6答案自主梳理1.RR{x|x≠kπ+π2,k∈Z}[-1,1][-1,1]R2π2ππ奇函数偶函数奇函数[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)[2kπ+π2,2kπ+32π](k∈Z)[2kπ-π,2kπ](k∈Z)[2kπ,2kπ+π](k∈Z)(kπ-π2,kπ+π2)(k∈Z)2.2kπ+π2(k∈Z)2kπ-π2(k∈Z)3.2kπ(k∈Z)2kπ+π(k∈Z)4.(kπ,0)(k∈Z)kπ+π2,0(k∈Z)kπ2,0(k∈Z)5.x=kπ+π2(k∈Z)x=kπ(k∈Z)自我检测1.C2.D3.D4.D5.A课堂活动区例1解题导引求三角函数的定义域时,需要转化为三角不等式(组)求解,常常借助于三角函数的图象和周期解决,求交集时可以利用单位圆,对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可.解要使函数有意义,则2+log12x≥0,x0,tanx≥0,x≠kπ+π2k∈Z,得0x≤4,kπ≤xkπ+π2k∈Z所以函数的定义域为x|0xπ2或π≤x≤4.变式迁移1π3+2kπ,5π6+2kπ,k∈Z解析由题意得1-2cosx≥02sinx-10⇒cosx≤12sinx12,解得π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ,k∈Zπ6+2kπx5π6+2kπ,k∈Z,即x∈π3+2kπ,5π6+2kπ,k∈Z.7例2解题导引求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx+φ(ω0)”视为一个“整体”;②A0(A0)时,所列不等式的方向与y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).解y=2sinπ4-x可看作是由y=2sinu与u=π4-x复合而成的.又∵u=π4-x为减函数,∴由2kπ-π2≤u≤2kπ+π2(k∈Z),即2kπ-π2≤π4-x≤2kπ+π2(k∈Z),得-2kπ-π4≤x≤-2kπ+3π4(k∈Z),即-2kπ-π4,-2kπ+3π4(k∈Z)为y=2sinπ4-x的递减区间.由2kπ+π2≤u≤2kπ+3π2(k∈Z),即2kπ+π2≤π4-x≤2kπ+3π2(k∈Z),得-2kπ-5π4≤x≤-2kπ-π4(k∈Z),即-2kπ-5π4,-2kπ-π4(k∈Z)为y=2sinπ4-x的递增区间.综上可知,y=2sinπ4-x的递增区间为-2kπ-5π4,-2kπ-π4(k∈Z);递减区间为-2kπ-π4,-2kπ+3π4(k∈Z).变式迁移2解(1)由y=sinπ3-2x,得y=-sin2x-π3,由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,又x∈[-π,π],∴-π≤x≤-712π,-π12≤x≤512π,1112π≤x≤π.∴函数y=sinπ3-2x,x∈[-π,π]的单调递减区间为-π,-712π,-π12,512π,1112π,π.8(2)函数y=3tanπ6-x4的周期T=π-14=4π.由y=3tanπ6-x4得y=-3tanx4-π6,由-π2+kπx4-π6π2+kπ得-43π+4kπx83π+4kπ,k∈Z,∴函数y=3tanπ6-x4的单调递减区间为-43π+4kπ,83π+4kπ(k∈Z).例3解题导引解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值
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