届高三数学大一轮复习二项分布及其应用学案理新人教A版

1学案67二项分布及其应用导学目标：1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题．自主梳理1．条件概率及其性质(1)设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．(2)条件概率具有的性质：①__________________；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝________________.2．相互独立事件(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B____________.(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝______，P(AB)＝________________＝________________.(3)若A与B相互独立，则________________，________________，________________也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则________________．3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布．记作____________．自我检测1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，14，则密码被译出的概率为()A．0.45B．0.05C．0.4D．0.62．(2011·三明月考)一学生通过一种英语听力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是()A.14B.13C.12D.343．已知随机变量X服从二项分布X～B6，13，则P(X＝2)等于()A.1316B.4243C.13243D.802434．已知P(AB)＝310，P(A)＝35，则P(B|A)等于()A.950B.12C.910D.145．(2011·临沂调研)一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在5次测量中至少23次出现正误差的概率是()A.516B.58C.23D.12探究点一条件概率例1在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件．试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．变式迁移11号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？探究点二相互独立事件例2(2011·宁波模拟)甲、乙两名射击运动员，分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求(1)两人都射中的概率；(2)两人中恰有一人射中的概率；(3)两人中至少一人射中的概率；(4)两人中至多一人射中的概率．3变式迁移2甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是12，三人都做对的概率是124，三人全做错的概率是14.(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．探究点三独立重复试验与二项分布例3(2010·天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率．4变式迁移3粒子A位于数轴x＝0处，粒子B位于数轴x＝2处，这两颗粒子每隔1秒钟向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为23，向左移动的概率为13.(1)求4秒后，粒子A在点x＝2处的概率；(2)求2秒后，粒子A、B同时在x＝2处的概率．1．一般地，每一个随机试验都在一定的条件下进行，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．求条件概率，必须理解条件概率的定义及公式，公式中的P(AB)是指事件A、B同时发生的概率．2．一般地，事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)，这时，我们称两个事件A、B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．事件的独立是一种对等的性质．如果事件A对事件B独立，那么就可以说事件A与B相互独立．显然，必然事件与任何事件是相互独立的．3．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．4．独立重复试验概率公式的特点：关于Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n、p、k的意义，才能正确运用公式．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.512B.125C.712D.342．(2011·温州月考)位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A.125B．C25125C．C25123D．C25C351253．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一架飞机来犯，问需要几门高射炮射击，才能至少以99%的概率击中它()A．3B．4C．5D．64．(2011·合肥模拟)一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.164B.5564C.18D.1165．同时抛掷三颗骰子：设A＝“三个点数都不相同”，B＝“至少有一个6点”，则P(B|A)为()A.12B.6091C.518D.91216二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·湖北)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．7．(2010·重庆)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．8．(2010·福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______．三、解答题(共38分)9．(12分)一名学生骑车从家到学校的途中有6个路口，假设他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都为13.求：(1)这名学生在途中遇到红灯次数ξ的分布列；(2)这名学生首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数η的分布列；(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．610．(12分)(2011·六安模拟)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；(2)求ξ的分布列；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．11．(14分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；(2)比赛打满七局的概率；(3)设比赛局数为ξ，求ξ的分布列．学案67二项分布及其应用自主梳理1．(2)①0≤P(B|A)≤1②P(B|A)＋P(C|A)2.(1)相互独立(2)P(B)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)A与BA与BA与B(4)A与B相互独立3.(2)X～B(n，p)自我检测1．C2.C3.D4.B5.D课堂活动区例1解题导引求条件概率的通常方法是利用条件概率公式P(B|A)＝PABPA.这就需要求P(AB)和P(A)．如果事件具有等可能特点，还可以看作是基本事件空间改变后的古典7概型，利用P(B|A)＝nABnA来计算．解设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}．(1)P(A)＝5100＝120.(2)方法一根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的概率：P(AB)＝5100×499，所以有P(B|A)＝PABPA＝5100×4995100＝499.方法二事件A发生的条件下，事件空间包含的基本事件个数为nA＝100－1＝99个．事件A发生的条件下，事件B包含4个基本事件．∴P(B|A)＝nABnA＝499.变式迁移1解记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．则P(B)＝42＋4＝23，P(B)＝1－P(B)＝13，(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵P(A|B)＝38＋1＝13，∴P(A)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝49×23＋13×13＝1127.例2解题导引(1)审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等．(2)复杂事件的概率拆分为几个互斥事件的和事件，然后利用互斥事件的概率加法公式进行求解．(3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：①利用相互独立事件的概率乘法公式；②正面计数较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算．解(1)记事件A：甲射中目标；事件B：乙射中目标．两人都射中的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.(2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”两种情况，其对应事件为互斥事件，则P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)方法一两人至少有一人射中包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况，其概率为P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.72＋0.26＝0.98.方法二因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”互为对立事件．所以“两人至少有一人射中”的概率为：1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.2×0.1＝0.98.8(4)方法一至多有一人射中包括“有一人射中”和“两人都未射中”，故所求概率为P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.方法二“至多有一人射中”的对立事件为“两人都射中”，故所求概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.72＝0.28.变式迁移2解(1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A、B、C，则P(A)＝12，由题意得12·PBPC＝1241－12[1－PB－PC＝14，解得P(B)＝13，P(C)＝14或P(B)＝14，P(C)＝13，所以乙、丙两人各自做对这道题的概率为13和14或14和13.(2)设“甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题”为事件D，则P(D)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝14＋18＋112＝1124，所以甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率是1124.例3解题导引因为小球每次遇