山大数分试题08

1泰勒公式1．写出下列函数在0x的带佩亚诺余项的泰勒展开式：(1)2xe；(2)2cosx；(3)ln(1)x；(4)21(1)x；(5)3211xxx；(6)3sinx；(7)221xxx；(8)1ln12xx；2．写出下列函数在0x的泰勒公式至所指的阶数：(1)sin3,()xex；(2)6lncos,()xx；(3)4,()sinxxx；(4)242,()1xxxx；3．求下列函数在1x的泰勒展开式：(1)lnx；(2)xa；(3)32()235Pxxxx；4．确定常数a，b，使0x时，(1)()(cos)sinfxabxxx为x的5阶无穷小；(2)1()1xaxfxebx为x的3阶无穷小；5．利用泰勒公式求极限：(1)11limsinxxx；(2)3361limsin2xxexx；(3)11limln12nnn；(4)21cos(sin)lim2ln(1)xxx；(5)332lim(32)xxxxx；6．设()fx在原点的邻域二次可导，且32sin3()lim0xxfxxx(1)(0),'(0),''(0)fff；(2)2201()limxfxxx；7．设()fx在实轴上任意次可导，令2()()Fxfx，求证：(2)()(21)(0)(0)(0)0,(2)!!nnnFfFnn.8．设()Px为一n次多项式，(1)()(),'(),,()nPaPaPa皆为正数，证明()Px在(,)a上无根；(2)()(),'(),,()nPaPaPa正负号相间，证明()Px在(,)a上无根；9．求证：(1)1111(01)2!!(1)!eenn；(2)e是无理数；10．设()fx在[,]ab上有二阶导数，且'()'()0fafb，则存在(,)cab，使24''()()()()fcfbfaba11．设()fx在a点附近二次可导，且''()0fa，由微分中值定理：()()'(),01fahfafahh求证：01lim2h12．证明：若函数()fx在区间[,]ab上恒有''()0fx，则在[,]ab内任意两点12,xx，都有1212()()()22fxfxxxf.2微积分在几何与物理中的应用1，求下列各曲线所围成的图形面积：(1)224(1),4(1);yxyx(2)|ln|,0(0.110);yxyx(3)2,sin(0);yxyxxx(4)22,5;yxx(5)2,5;yxyx(6)222333;xya2．求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积：(1)双纽线22cos2;ra(2)三叶玫瑰线sin3;ra(3)蚌线cos().rabba3．求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积：(1)2232,2;xttytt(2)摆线(sin),(1cos)(02)xattyatt及x轴；(3)圆的渐开线(cossin),(sincos),(02)xatttyatttt，及半直线(0)xay，其中0a．4．直线yx把椭圆2236xyy的面积分成两部分A(小的一块)和B(的一块)，AB之值．5，求3cosr和1cosr所围的公共部分的面积．6，求下列旋转体的体积：(1)椭圆22221xyab绕x轴；(2)sin,0(0)yxyx(i)绕x轴，(ii)绕y轴；(3)旋轮线(sin),(1cos)(02),0xattyatty(i)绕x轴，(ii)绕y轴，(iii)绕直线2;ya(4)双曲线22221yxba与直线xh所围的图形绕x轴旋转，7．求由下列各曲面所围成的几何体的体积：(1)求截锥体的体积，其上，下底皆为椭圆，椭圆的轴长分别等于A，B和a，b，而高为h；(2)正圆台：其上下底分别是半径为a、b的圆，而其间的距离为h．8．已知球半径为R，试求高为h的球冠体积(h≤R)．9-求下列曲线的弧长：(1)2,01;yxx(2)2,12;yex(3)1;xy(4)星形线33cossin(02);xatyatt(5)圆的渐开线(cossin),(sincos),0,02;xatttyatttat(6)3sin(0);3raa(7)心脏线(1cos),02,0.raa10．求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径：(1)4xy在点(2，2)；(2)lnyx在点(1，0)．11．求下列曲线的曲率与曲率半径：(1)抛物线22(0);ypxp(2)双曲线22221;xyab(3)星形线222333;xya12．求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径：(1)旋轮线(sin),(1cos)(0);xattyata(2)椭圆cos,sin(,0);xatybtab(3)圆的渐开线(cossin),(sincos).xatttyattt13．求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径：(1)心脏线(1cos)(0);raa(2)双纽线222cos2(0);raa(3)对数螺线(0).rae14．设曲线是用极坐标方程()rr给出，且二阶可导，证明它在点处曲率为223222|2'''|.(')rrrrKrr15．证明抛物线2yaxbxc在顶点处的曲率半径为最小．16．求曲线22(1)yx的最小曲率半径．17．求曲线xye上曲率最大的点．18．求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积：(1)sin,0yxx绕x轴；(2)(sin),(1cos),0,02xattyatat绕直线2;ya(3)22221()xyabab绕x轴；(4)33cos,sinxatyat绕x轴；(5)222cos2ra绕极轴．·19．求下列曲线段的质心：(1)半径为r，弧长为专1()2的均匀圆弧；(2)对数螺线(0,0)kraeak上由点(0,)a到点(,)r的均匀弧段；(3)以A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)为顶点的矩形周界，曲线上任一点的密度等于该点到原点距离的2倍；(4)(sin),(1cos)02,xattyatta，密度为常数．20，已知一抛物线段2(11)yxx，曲线段上任一点处的密度与该点到y轴的距离成正比，1x处密度为5，求此曲线段的质量．21．轴长10m，密度分布为()(60.3)kg/mxx，其中x为距轴的一个端点的距离，求轴的质量．22．求半球2220zRxy的质心23。求锥体22xyzh的质心和绕z轴的转动惯量．24．求抛物体22xyzh的质心和绕z轴的转动惯量．3微积分方程初步1．求下列微分方程的通解：(1)'ln0;xyyy(2)221';1yyx(3)2355'0;xxy(4)2(1)0;xydxxdy(5)2'(');yxyayy(6)(3)cot0;ydxxdy(7)10;xydydx(8)sec(1)0;xydxxdy(9)()()0;xyxxyyeedxeedy(10)lnln0.yxdxxydy2，求已给微分方程满足初始条件的特解：(1)2sinln,;|xdyxyyyedx(2)20',0;|xyxyey(3)00,1.11|xxydxdyyyx3．质量为1g的质点受力作用作直线运动，这力和时间成正比，和质点运动的速度成反比，在10st时，速度等于50cm／s，力为4×10-5N．问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?4．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与镭所现存的量R成正比，由经验材料断定，镭经过1600年后，只余原始量R。的一半，试求镭的量R与时间t的函数关系．