金融经济学第五章之三投资组合理论

金融经济学第五章之三投资组合理论2马科维茨(H.Markowitz,1927～)《证券组合选择理论》瑞典皇家科学院决定将1990年诺贝尔奖授予纽约大学哈利.马科维茨（HarryMarkowitz）教授,为了表彰他在金融经济学理论中的先驱工作—资产组合选择理论。一、现代投资组合理论的起源及基本思想3发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法Mean-Variancemethodology.这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础；这一理论通常被认为是现代金融学的发端。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一系列金融学理论的重大突破。主要贡献4西方投资管理经历了三个发展阶段：投机阶段、职业化阶段和科学化阶段。1952年，HarryMarkowitz发表的“投资组合选择”作为投资学或金融经济学产生的标志。1963年，WillianSharpe提出了单指数模型。1964年，Sharpe，Lintner,Mossin分别独立地提出了资本资产定价模型（CAPM）。1973年，Black和Scholes提出了第一个完整的期权定价模型即Black-Scholes公式。1976年，Ross提出了套利定价理论(APT)。证券投资理论的发展56投资组合理论的基本思想投资组合是一个风险与收益的tradeoff问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。——“nothingventured,nothinggained”——foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”7891011121314案例151617问题对于休曼埃克斯组织来说，选择糖凯恩公司股票是否比选择国库券要好？若糖凯恩公司股票的收益状况如下：则情况又如何？18糖生产的正常年份异常年份股市的牛市股市的熊市糖的生产危机概率0.50.30.2收益率7%-5%20%19贝斯特凯迪公司股票的期望收益和标准差？糖凯恩公司股票的期望收益和标准差？糖凯恩公司股票和贝斯特凯迪公司股票的协方差和相关系数？休曼埃克斯组织不同投资选择的期望收益和标准差？20两只股票的协方差为-240.5，相关系数为-0.86资产组合期望收益（%）标准差（%）全部投资于贝斯特凯迪公司股票10.5018.90一半投资于国库券7.759.45一半投资于糖凯恩股票8.254.83证券期望收益（%）标准差（%）贝斯特凯迪公司股票10.0518.9糖凯恩股票614.75国库券5021（二）资产组合理论基本假设（1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。（3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。（4）投资者希望持有有效资产组合。222.1组合的可行集和有效集可行集与有效集可行集：资产组合的机会集合（Portfolioopportunityset），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。有效组合（Efficientportfolio）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个点。有效集（Efficientset）：又称为有效边界（Efficientfrontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。23两种风险资产构成的组合的风险与收益若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为11222222211221212222211221212121211112222211112111212221()(1)()(1)2(1)pppprwrwr＋＝＝由于＋，则＋＝由此就构成了资产在给定条件下的可行集！24注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。25组合的风险－收益二维表示.收益rp风险σp2.2两种完全正相关资产的可行集26两种资产完全正相关，即ρ12＝1，则有p11112111121p111p221122()(1)()(1)10ppp＝＋当＝时，＝，当＝时，＝，所以，其可行集连接两点（，）和（，）的直线。271111212121112212121221212221212()(1)()/()()(1)(()/())(1()/())ppppppp则－从而－－故命题成立，证毕。命题1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得28两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。收益Erp风险σp11(,)r22(,)r292.3两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即ρ12=-1，则有2222p11112111211121111221p1221p111121221p1121112()(1)2(1)|(1)|()(1)0()(1)()(1)p=－＋当时,当时，=当时，=30命题2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：2112111121()(1)()pp当时，则可以得到，从而221212121212221212()(1)ppppprrrrrrrr＋＋＋312112112111212221212,()(1)()pppp同理可证当时，则命题成立，证毕。32两种证券完全负相关的图示收益rp风险σp122212rrr22(,)r11(,)r332.4两种不完全相关的风险资产的组合的可行集111122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1ppprwwrwr当1时＋＝尤其当＝时＝这是一条二次曲线，事实上，当1时，可行集都是二次曲线。34总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集收益Erp风险σpρ=1ρ=0ρ=-111(,)r22(,)r122212rrr351212121212121111由图可见，可行集的弯曲程度取决于相关系数。随着的增大，弯曲程度增加；当＝－时，呈现折线状，也就是弯曲度最大；当＝时，弯曲度最小，也就是没有弯曲，则为一条直线；当，就介于直线和折线之间，成为平滑的曲线，而且越大越弯曲。363种风险资产的组合二维表示一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。收益rp风险σp123437类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。收益rp风险σpn种风险资产的组合二维表示38总结：可行集的两个性质1.在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域2.可行区域是向左侧凸出的因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。为什么？39收益rp风险σp不可能的可行集AB402.5风险资产组合的有效集在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称之为有效资产组合；由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。41整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准差。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S（具有最大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。例如：自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如Ｐ，与可行集内其它点所对应的投资组合（如Ａ点）比较起来，在相同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而与Ｂ点比较起来，在相同的收益水平下，Ｐ点承担的风险又是最小的。42总结A、两种资产的可行集完全正相关是一条直线完全负相关是两条直线完全不相关是一条抛物线其他情况是界于上述情况的曲线B、两种资产的有效集左上方的线C、多个资产的有效边界可行集：月牙型的区域有效集：左上方的线432.6马克维茨的数学模型*均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里·马克维茨等人于1952年建立的，其目的是寻找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据上一章的占优原则这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险的条件下，收益最大化441111mins.t.,1nnijijijniiinii11111212...=(,,...,)w=(,,...,),nnnnTnncrrrr若已知资产组合收益、方差协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量，求解组合中资产权重向量则有45对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子λ和μ来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下1111L()(1)nnnnijijiiiijii上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组46111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw和方程111niiiniiwrcw47这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1，2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为2，求解最优的权重。483111113222123332133123131231020302321jjjjjjjjjiiiiiLwrwwLwrwwLwr100010001由于1=(1,2,3),2Tcr4912301/31/31/31/3课外练习：假设三项不相关的资产。其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为1，求解最优的权重。由此得到组合的方差为21350（三）最优风险资产组合1.由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最优投资组合必定位于有效集边界上，其他非有效的组合可以首先被排除。2.虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，因此，最终从有